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III.

L’équation générale linéaire du premier ordre est

$0={\frac {\partial z}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial z}{\partial y}}+{\text{ϐ}}z+\mathrm {T} ,$

$\alpha ,{\text{ϐ}}$ et $\mathrm {T}$ étant fonctions quelconques de $x$ et de $y.$ M. d’Alembert en a donné, le premier, l’intégrale dans le Tome IV de ses Opuscules. Je vais intégrer la suivante qui la renferme

(1)

$0={\frac {\partial z}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial z}{\partial y}}+\mathrm {V} ,$

$\mathrm {V}$ étant fonction de $x,y$ et $z.$

J’observerai ici que je regarde une équation aux différences partielles comme intégrée lorsqu’elle est ramenée à l’intégration d’une équation aux différences ordinaires. Cela posé,

Je considère d’abord $z$ comme fonction de $x$ et de $y,$ et ensuite comme fonction de $x$ et d’une nouvelle variable $u,$ ce qui donne, en différenciant,

${\begin{aligned}dz=&\ \ {\frac {\partial z}{\partial x}}\ \ dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy,\\dz=&\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)'dx+{\frac {\partial z}{\partial u}}du,\end{aligned}}$

${\frac {\partial z}{\partial x}}$ désignant le coefficient de $dx,$ dans la différentiation de $z,$ lorsque $z$ est considéré comme fonction de $x$ et de $y\,;$ et $\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)'$ désignant ce même coefficient lorsque $z$ est regardé comme fonction de $x$ et de $u.$

Si l’on considère présentement $u$ comme fonction de $x$ et de $y,$ on aura

$du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy\,;$

donc

$dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)'dx+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial y}}dy\,;$

partant,

${\frac {\partial z}{\partial x}}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)'+{\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}\qquad$et$\qquad {\frac {\partial z}{\partial y}}={\frac {\partial z}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial y}}\,;$