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Relativement au Soleil, les quantités $m,m',\ldots$ sont très petites par rapport à $n,$ parce que le mouvement moyen du Soleil dans son orbite n’est que la ${\frac {1}{365}}$ partie environ du mouvement de rotation de la Terre ; ainsi les parties des expressions de $y,u$ et $v$ qui dépendent des quantités

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathrm {K} \sin 2\theta \sin ^{2}\nu \cos &(2\varphi -2nt-2\varpi ),\\\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin ^{2}\theta \sin &(2\varphi -2nt-2\varpi ),\\2\mathrm {K} \cos 2\theta \sin \nu \cos \nu \cos &(\ \ \varphi -\ \ nt-\ \ \varpi ),\\\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \sin 2\theta \sin &(\ \ \varphi -\ \ nt-\ \ \varpi ),\end{aligned}}$

qui se trouvent dans les équations (7) et (9), sont à très peu près les mêmes pour le Soleil que celles que nous avons déterminées par la théorie précédente. L’approximation est un peu moins exacte pour la Lune, parce que son mouvement est plus rapide ; mais, comme il n’est encore que ${\frac {1}{27}}$ de celui de rotation de la Terre, on peut la regarder comme suffisamment exacte.

Il nous reste présentement à considérer les termes de la forme

$\mathrm {K} '\sin 2\theta \cos(mt+\mathrm {A} ),$

que donne le développement de la quantité

$\mathrm {K} \sin 2\theta ({\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu ).$

On supposera, comme précédemment,

${\begin{aligned}y=&a\cos(mt+\mathrm {A} ),\\u=&b\cos(mt+\mathrm {A} )\end{aligned}}$

et

$v=c\sin(mt+\mathrm {A} ),$

et l’on aura, pour déterminer $a,b,c,$ les équations

$a=-l\gamma \left({\frac {\partial b}{\partial \theta }}+b{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\right)-lb{\frac {\partial \gamma }{\partial \theta }},$

${\begin{aligned}&-m^{2}b-2nmc\sin \theta \cos \theta s=-g{\frac {\partial a}{\partial \theta }}+\mathrm {K} '\sin 2\theta ,\\&-m^{2}c\sin ^{2}\theta -2nmb\sin \theta \cos \theta =0.\end{aligned}}$