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des quantités

$2\mathrm {K} \cos 2\theta \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-\varpi )$

et

$\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \sin 2\theta \sin(\varphi -nt-\varpi ),$

seront à très peu près les mêmes que celles que l’on aurait en regardant $\varphi ,\nu$ et $\mathrm {K}$ comme constants dans l’intégration, et en substituant ensuite, au lieu de ces quantités, leurs véritables valeurs variables, ainsi que nous l’avons prescrit dans l’article XVII.

Considérons un autre terme quelconque de l’équation (7), tel que

${\frac {1}{2}}\mathrm {K} ''\sin 2\theta \cos(2nt+2m't+2\varpi +2\mathrm {A} '),$

dont le correspondait dans l’équation (9) est

$-\mathrm {K} ''\sin ^{2}\theta \sin(2nt+2m't+2v+2\mathrm {A} ')\,;$

on supposera, en n’ayant égard qu’à ce terme,

${\begin{aligned}y=&a'\cos(2nt+2m't+2\varpi +2\mathrm {A} '),\\u=&b'\cos(2nt+2m't+2\varpi +2\mathrm {A} '),\\v=&c'\sin(2nt+2m't+2\varpi +2\mathrm {A} '),\end{aligned}}$

et l’on aura, pour déterminer $a',b'$ et $c',$ les trois équations

$a=-l\gamma \left({\frac {\partial b'}{\partial \theta }}+2c'+b'{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\right)-lb'{\frac {\partial \gamma }{\partial \theta }},$

${\begin{aligned}&-4(n+m')^{2}b'-4n(n+m')c'\sin \theta \cos \theta =-g{\frac {\partial a'}{\partial \theta }}+{\frac {1}{2}}\mathrm {K} ''\sin 2\theta ,\\&-4(n+m')^{2}c'\sin ^{2}\theta -4n(n+m')b'\sin \theta \cos \theta =2ga'-\mathrm {K} ''\sin 2\theta \,;\end{aligned}}$

on voit facilement encore que, si $m'$ est très petit par rapport à $n,$ les parties des expressions de $y,u$ et $v$ qui dépendent des quantités

${\frac {1}{2}}\mathrm {K} \sin 2\theta \sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2nt-2\varpi )$

et

$\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin ^{2}\theta \sin(2\varphi -2nt-2\varpi )$

sont à très peu près les mêmes que celles que l’on aurait en regardant $\varphi ,\nu$ et $\mathrm {K}$ comme constants durant l’intégration, et en substituant ensuite, au lieu de ces quantités, leurs valeurs variables.