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par rapport à $\varpi ,$ il est clair que chaque terme tel que

$\mathrm {K} '\cos(nt+mt+\varpi +\mathrm {A} )$

de l’expression de

$\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-\varpi )$

donnera le terme

$-\mathrm {K} '\sin(nt+mts+\varpi +\mathrm {A} ),$

dans l’expression de

$\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \sin(\varphi -nt-\varpi ),$

et ce sera la somme de tous ces termes qu’il faudra substituer au lieu de cette quantité dans l’équation (9).

On a pareillement

$\cos(2\varphi -2nt-2\varpi )=\sin 2\varphi \sin(2nt+2\varpi )+\cos 2\varphi \cos(2nt+2\varpi )\,;$

de plus, on a par ce qui précède

${\begin{aligned}\sin ^{2}\nu \sin 2\varphi =&-2\cos z(\sin \varepsilon \sin z-s\cos \varepsilon ),\\\sin ^{2}\nu \cos 2\varphi =&\sin ^{2}\varepsilon \sin ^{2}z-\cos ^{2}z-2s\sin \varepsilon \cos \varepsilon \sin z\,;\end{aligned}}$

on aura donc, au lieu de

$\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2nt-2\varpi ),$

une suite de termes de cette forme

$\mathrm {K} '\cos(2nt+2mt+2\varpi +2\mathrm {A} ),$

et comme on a

$\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin(2\varphi -2nt-2\varpi )={\frac {1}{2}}{\frac {\partial .\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2nt-2\varpi )}{\partial \varpi }},$

le terme

$\mathrm {K} '\cos(2nt+2mt+2\varpi +2\mathrm {A} )$

donnera le terme

$-\mathrm {K} '\sin(2nt+2mt+2\varpi +2\mathrm {A} ),$

dans la quantité

$\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin(2\varphi -2nt-2\varpi )$

de l’équation (9).