Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/185

d’où l’on tire

$\sin \nu ={\sqrt {\cos ^{2}z+\sin ^{2}\varepsilon \sin ^{2}z-2s\sin \varepsilon \cos \varepsilon \sin z}}\,;$

on aura ensuite

${\frac {1}{\sin \left(\varepsilon -{\cfrac {s}{\sin z}}\right)}}={\frac {\sin z\sin \varphi }{\cos z\cos \varphi }},$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\cos \varphi =&{\frac {\sin \varepsilon \sin z-s\cos \varepsilon }{\sqrt {\cos ^{2}z+\sin ^{2}\varepsilon \sin ^{2}z-2s\sin \varepsilon \cos \varepsilon \sin z}}},\\\sin \varphi =&{\frac {-\cos z}{\sqrt {\cos ^{2}z+\sin ^{2}\varepsilon \sin ^{2}z-2s\sin \varepsilon \cos \varepsilon \sin z}}}\,;\end{aligned}}$

partant,

$\sin \nu \cos \nu \sin \varphi =-(\cos \varepsilon \sin z+s\sin \varepsilon )\cos z$

et

$\sin \nu \cos \nu \cos \varphi =\quad (\sin \varepsilon \sin z-s\cos \varepsilon )(\cos \varepsilon \sin z+s\sin \varepsilon )\,;$

on a présentement

$\alpha \mathrm {K} ={\frac {3\mathrm {S} }{2h^{3}}}$

et

$cos(\varphi -nt-\varpi )=\sin \varphi \sin(nt+\varpi )+\cos \varphi \cos(nt+\varpi )\,;$

substituant donc, au lieu de $h,s$ et $z,$ leurs valeurs en temps moyen dans la quantité

$\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-rn),$

on aura une suite de termes de cette forme

$\mathrm {K} '\cos(nt+mt+\varpi +\mathrm {A} ).$

On substituera la somme de tous ces termes au lieu de

$\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-\varpi ),$

dans l’équation (7), et comme la quantité

$\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \sin(\varphi -nt-\varpi )$

de l’équation (9) résulte de la différentiation de la quantité

$\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-\varpi )$