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différence

{\frac {2}{\mathrm {N} }}\left(\mathrm {N} \sin \nu \sin \theta +{\frac {\mathrm {M} }{4}}\cos \nu \cos \theta \right)^{2}\,;

la valeur de $y,$ dans la marée de dessous, est

y=\mathrm {H-M} \sin \nu \cos \nu \sin \theta \cos \theta +\mathrm {N} \sin ^{2}\nu \sin ^{2}\theta \,;

la différence des deux marées de dessus et de dessous est conséquemment

2\mathrm {M} \sin \nu \cos \nu \sin \theta \cos \theta ,

et le rapport de cette différence à la différence de la haute à la basse mer est

{\frac {\mathrm {NM} \sin \nu \cos \nu \sin \theta \cos \theta }{\left(\mathrm {N} \sin \nu \sin \theta +{\frac {\mathrm {M} }{4}}\cos \nu \cos \theta \right)^{2}}}\,;

cette quantité que nous nommerons (A) est nulle lorsque l’astre ou lorsque le lieu de l’observation sont dans l’équateur ; mais, si le rapport de $\mathrm {M}$ à $\mathrm {N}$ était un peu grand, la quantité (A) serait considérable dans nos ports, lorsque le Soleil et la Lune seraient dans leurs plus grandes déclinaisons australes. Cherchons ce rapport dans la théorie ordinaire : cette théorie revient à supposer $m$ infiniment petit dans la valeur de $y$ de l’article XI et à changer $m$ en $-i,$ dans les angles $mt-\varpi$ et $2mt-2\varpi \,;$ on aura donc, en observant que $a^{2}=6lg\left(1-{\frac {3\Delta }{5\Delta ^{(1)}}}\right),$ dans cette valeur

{\begin{aligned}y=&{\frac {\mathrm {K} }{6g\left(1-{\frac {3\Delta }{5\Delta ^{(1)}}}\right)}}\left(\cos ^{2}\nu -\sin ^{2}\nu \right)(1+3\cos 2\theta )\\&+{\frac {2\mathrm {K} }{g\left(1-{\frac {3\Delta }{5\Delta ^{(1)}}}\right)}}\sin \nu \cos \nu \sin \theta \cos \theta \cos(it+\varpi )\\&+{\frac {\mathrm {K} }{2g\left(1-{\frac {3\Delta }{5\Delta ^{(1)}}}\right)}}\sin ^{2}\nu \sin ^{2}\theta \cos(2it+2\varpi ),\\\end{aligned}}

ce qui donne $\mathrm {M=4N} ,$ partant,

(\mathrm {A} )={\frac {4\sin \nu \cos \nu \sin \theta \cos \theta }{\left(\sin \nu \sin \theta +\cos \nu \cos \theta \right)^{2}}}={\frac {\sin 2\nu \sin 2\theta }{\cos ^{2}(\theta -\nu )}}\,;