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XIX.

Il est aisé de voir, par les articles XV et XVI, que l’on aura généralement, quelle que soit la loi de la profondeur de la mer,

$y=\mathrm {H+M} \sin \nu \cos \nu \sin \theta \cos \theta \cos(it+\varpi )+\mathrm {N} \sin ^{2}w\sin ^{2}\theta \cos(2it+2\varpi ),$

$\mathrm {H,M}$ et $\mathrm {N}$ étant fonctions de $\theta \,;$ pour avoir la plus grande élévation et le plus grand abaissement des eaux, il faut faire ${\frac {dy}{dt}}=0,$ ce qui donne

$0=\mathrm {M} \cos \nu \cos \theta \sin(it+\varpi )+2\mathrm {N} \sin \nu \sin \theta \sin(2it+2\varpi )\,;$

or on a

$\sin(2it+2\varpi )=2\sin(it+\varpi )\cos(it+\varpi )\,;$

l’équation précédente se partage ainsi dans les deux suivantes

${\begin{aligned}0=&\sin(it+\varpi ),\\0=&\mathrm {M} \cos \nu \cos \theta +4\mathrm {N} \sin \nu \sin \theta \cos(it+\varpi )\,;\end{aligned}}$

la première de ces équations se rapporte à la plus grande élévation, qui a lieu, par conséquent, lorsque $it+\varpi$ est égal à zéro ou à $180^{\circ },$ c’est à-dire lorsque l’astre passe au méridien ; la seconde équation est relative aux plus grands abaissements et donne

$\cos(it+\varpi )=-{\frac {\mathrm {M} \cos \nu \cos \theta }{4\mathrm {N} \sin \nu \sin \theta }}.$

Il suit de là que la valeur de $y,$ dans la marée de dessus, est

$y=\mathrm {H+M} \sin \nu \cos \nu \sin \theta \cos \theta +\mathrm {N} \sin ^{2}\nu \sin ^{2}\theta ,$

et que cette valeu, $r$ dans le plus grand abaissement des eaux, est

$y=\mathrm {H-{\frac {M^{2}}{8N}}} \cos ^{2}\nu \cos ^{2}\theta -\mathrm {N} \sin ^{2}\nu \sin ^{2}\theta \,;$

la différence de ces deux valeurs est la différence de la haute à la basse mer, que l’observation donne immédiatement ; on aura donc pour cette