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la première de ces équations donne l’ellipticité du sphéroïde ; quant aux deux autres, on peut y satisfaire d’une infinité de manières. Pour le faire voir, supposons $\mathrm {R} =\mu \varphi (s),\ \varphi (s)$ étant une fonction quelconque de $s,$ et $\mu$ étant un coefficient constant quelconque ; on satisfera à l’équation $\mathrm {A} ={\frac {1}{3}}f,$ en prenant

$\mu ={\frac {f}{3\int s^{2}\varphi (s)ds}},$

et, comme la fonction $\varphi (s)$ est indéterminée, il en résulte qu’il y a une infinité de manières de satisfaire à cette équation.

On peut satisfaire pareillement d’une infinité de manières à l’équation

$\mathrm {D} ={\frac {10fh-6q-5f{\cfrac {n^{2}}{g}}}{6}}\,;$

car soit $\psi (s)$ une fonction quelconque de $s\,;$ on peut supposer

$\int \mathrm {R} d.r^{5}\rho \qquad {\text{ou}}\qquad \mu \int \varphi (s)d.s^{5}\rho =\psi (s)\,;$

il suffit pour cela de prendre

$\rho ={\frac {1}{s^{5}}}\int {\frac {d.\psi (s)}{\mu \varphi (s)}}+\mathrm {C} ,$

et de déterminer la constante arbitraire $\mathrm {C}$ de manière que l’on ait $\rho =a$ lorsque $s=1\,;$ or, la fonction $\psi (s)$ étant indéterminée, on peut faire en sorte, et cela d’une infinité de manières, qu’elle soit égale à ${\frac {10fh-6q-5f{\cfrac {n^{2}}{g}}}{6}}$ lorsque $s=1.$

XVIII.

En considérant l’expression trouvée ci-dessus pour la profondeur de la mer, dans le cas où, par la méthode précédente, nous pouvons en déterminer les oscillations, il est aisé de voir que, si l’on suppose $r$ un peu considérable, on aura à très peu près le cas où la mer a partout la