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ce qui donne

(28)

$f^{(1)}\left\{qg\left[1-{\frac {4\Delta \pi }{(4r+5)g}}\right]-i^{2}\right\}=q\left(2ri^{2}+3i^{2}-2ni\right)e^{(r)},$

et cette équation répond à l’équation (24) de l’article précèdent.

Si l’on compare les coefficients de $\cos(it+\varpi )$ dans l’équation (22), on trouvera d’abord l’équation (27) ; on trouvera ensuite les équations suivantes

${\begin{aligned}\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(1)}-4n^{2}e\qquad &=\mathrm {B} _{1}^{(1)},\\\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(2)}-4n^{2}e^{(1)}\quad &=\mathrm {B} _{1}^{(2)},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(r)}-4n^{2}e^{(r-1)}&=\mathrm {B} _{1}^{(r)},\\-4n^{2}e^{(r)}&=\mathrm {B} _{1}^{(r+1)},\end{aligned}}$

$\mathrm {B} _{1}^{(1)},\mathrm {B} _{1}^{(2)},\ldots ,\mathrm {B} _{1}^{(r+1)}$ étant pareilles fonctions de $f_{1},f_{1}^{(1)},f_{1}^{(2)},\ldots ,f_{1}^{(r)},$ que $\mathrm {B} ^{(1)},\mathrm {B} ^{(2)},\ldots ,\mathrm {B} ^{(r+1)}$ le sont de $f,f^{(1)},f^{(2)},\ldots ,f^{(r)}\,;$ on aura donc

$\mathrm {B} _{1}^{(r+1)}=gf_{1}^{(r)}\left(2r+2+{\frac {2n}{i}}\right)$

ou

$\mathrm {B} _{1}^{(r+1)}=g\left[1-{\frac {4\Delta \pi }{(4r+5)g}}\right]f^{(r)}\left(2r+2+{\frac {2n}{i}}\right)\,;$

partant,

$-2n^{2}e^{(r)}=gf^{(r)}\left[1-{\frac {4\Delta \pi }{(4r+5)g}}\right]\left(r+1+{\frac {n}{i}}\right).$

Si l’on compare cette équation avec l’équation (28), on en tirera

$q={\frac {2n^{2}}{g\left[1-{\cfrac {4\Delta \pi }{(4r+5)g}}\right]\left(2r^{2}+5r+3+{\cfrac {n}{i}}\right)}}\,;$

on déterminera ensuite les $2r+2$ quantités $f,f^{(1)},f^{(2)},\ldots ,f^{(r)},$$\ldots \,;e,$$e^{(1)},e^{(2)},\ldots ,e^{(r)}$ au moyen des équations (27) et (28), et des $2r$ équations

$f=\mathrm {A} _{1},\qquad f^{(1)}=\mathrm {A} _{1}^{(1)},\qquad f^{(2)}=\mathrm {A} _{1}^{(2)},\qquad \ldots ,\qquad f^{(r-1)}=\mathrm {A} _{1}^{(r-1)}\,;$

${\begin{aligned}\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(1)}-4n^{2}e\qquad &=\mathrm {B} _{1}^{(1)},\\\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(2)}-4n^{2}e^{(1)}\quad &=\mathrm {B} _{1}^{(2)},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(r)}-4n^{2}e^{(r-1)}&=\mathrm {B} _{1}^{(r)}.\end{aligned}}$