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$\mathrm {E,E^{(1)},E^{(2)}} ,\ldots$ étant des fonctions de $p,$ faciles à déterminer, et l’on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {E} &={\frac {n+i}{i}}\left(\mathrm {K} \sin ^{2}\nu -2gp\right),\\\mathrm {E} &=-gp^{(r)}{\frac {2ri+2i+2n}{i}}.\end{aligned}}$

Si l’on compare maintenant les coefficients des différentes puissances de $\sin \theta ,$ on aura d’abord

$\left(4n^{2}-4i^{2}\right){\text{ϐ}}={\frac {n+i}{i}}\left(\mathrm {K} \sin ^{2}\nu -2gp\right),$

d’où l’on tire

${\frac {2n-2i}{i}}{\text{ϐ}}+{\frac {gp}{i^{2}}}-{\frac {\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{2i^{2}}}=0,$

équation qui est la même que l’équation (25) ; on aura ensuite

${\begin{aligned}\left(4n^{2}-4i^{2}\right){\text{ϐ}}^{(1)}-4n^{2}{\text{ϐ}}&=\mathrm {E} ^{(1)},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\-4n^{2}{\text{ϐ}}^{(r-1)}&=\mathrm {E} ^{(r)},\end{aligned}}$

ou, en substituant au lieu de $\mathrm {E} ^{(r)}$ sa valeur,

$2n^{2}{\text{ϐ}}^{(r-1)}=gp^{(r)}{\frac {ri+i+n}{i}}.$

Si l’on combine cette équation avec l’équation (26), on en tirera

$q={\frac {2n^{2}}{g\left(2r^{2}+5r+3+{\cfrac {n}{i}}\right)}}\,;$

on déterminera ensuite les $2r+1$ coefficients $p,p^{(1)},\ldots ,p^{(r)},{\text{ϐ}},{\text{ϐ}}^{(1)},\ldots ,$${\text{ϐ}}^{(r-1)},$ au moyen des équations (25) et (26) et des $2r-1$ équations

$p=\mathrm {D} ,\qquad p^{(1)}=\mathrm {D} ^{(1)},\qquad ,\ldots ,\qquad p^{(r-1)}=\mathrm {D} ^{(r-1)},$

${\begin{aligned}\left(4n^{2}-4i^{2}\right){\text{ϐ}}^{(1)}-4n^{2}{\text{ϐ}}\quad &=\mathrm {E} ^{(1)},\\\left(4n^{2}-4i^{2}\right){\text{ϐ}}^{(2)}-4n^{2}{\text{ϐ}}^{(1)}&=\mathrm {E} ^{(2)},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\\left(4n^{2}-4i^{2}\right){\text{ϐ}}^{(r-1)}-4n^{2}{\text{ϐ}}^{(r-2)}&=\mathrm {E} ^{(r-1)}.\end{aligned}}$