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supposons

${\begin{aligned}c\quad &=\sin ^{2}\theta \left(p+p^{(1)}\sin ^{2}\theta +p^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots ++p^{(r)}\sin ^{(2r)}\theta \right),\\c^{(1)}&=\sin \theta \cos \theta ({\text{ϐ}}+{\text{ϐ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +{\text{ϐ}}^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots ++{\text{ϐ}}^{(r-1)}\sin ^{2r-2}\theta ,\end{aligned}}$

$p,p^{(1)},p^{(2)},\ldots ,{\text{ϐ}},{\text{ϐ}}^{(1)},{\text{ϐ}}^{(2)},\ldots$ étant des coefficients constants qu’il s’agit de déterminer. Si l’on substitue ces valeurs de $c$ et de $c^{(1)}$ dans la cinquième des équations (L), et que l’on ordonne cette équation par rapport aux puissances de $\sin \theta ,$ on aura d’abord, en comparant les termes qui ne renferment point $\sin \theta ,$

(25)

$0={\frac {2n-2i}{i}}{\text{ϐ}}+{\frac {gp}{i^{2}}}-{\frac {\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{2i^{2}}}\,;$

et si l’on divise tous les autres termes de l’équation par $\sin ^{2}\theta ,$ on aura une équation de cette forme

${\begin{aligned}&p+p^{(1)}\sin ^{2}\theta +p^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +p^{(r)}\sin ^{(2r)}\theta \\=&\mathrm {D} +\mathrm {D} ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\mathrm {D} ^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +\mathrm {D} ^{(r)}\sin ^{(2r)}\theta ,\end{aligned}}$

$\mathrm {D,D^{(1)},D^{(2)}}$ étant des fonctions de $p,p^{(1)},\ldots$ et de ${\text{ϐ}},{\text{ϐ}}^{(1)},\ldots$ très faciles à déterminer, et l’on trouvera

$\mathrm {D} ^{(r)}=q{\text{ϐ}}^{(r-1)}{\frac {2ri-2n+3i}{i}}+{\frac {gqp^{(r)}}{i^{2}}}.$

En comparant les coefficients des différentes puissances de $\sin \theta ,$ on a

$p=\mathrm {D} ,\qquad p^{(1)}=\mathrm {D} ^{(1)},\qquad p^{(2)}=\mathrm {D} ^{(2)},\qquad ,\ldots ,\qquad p^{(r)}=\mathrm {D} ^{(r)},$

ou, en substituant au lieu de $\mathrm {D} ^{(r)}$ (r) sa valeur,

(26)

$p^{(r)}=q{\text{ϐ}}^{(r-1)}{\frac {2ri-2n+3i}{i}}+{\frac {gqp^{(r)}}{i^{2}}}\,;$

si l’on substitue pareillement au lieu de $c$ et de $c^{(1)},$ leurs valeurs dans la sixième des équations (L), en la divisant par $\sin \theta \cos \theta$ et l’ordonnant ensuite par rapport aux différentes puissances de $\sin \theta ,$ on aura une équation de cette forme

$\left(4n^{2}-4i^{2}\right){\text{ϐ}}+\left[\left(4n^{2}-4i^{2}\right){\text{ϐ}}^{(1)}-4n^{2}{\text{ϐ}}\right]\sin ^{2}\theta +\ldots -4n^{2}{\text{ϐ}}^{(r-1)}\sin ^{2r}\theta$

$=\mathrm {E} +\mathrm {E} ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\mathrm {E} ^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +\mathrm {E} ^{(r)}\sin ^{(2r)}\theta ,$