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et

$\mathrm {B} ^{(r+1)}=gf^{(r)}\left(2r+2+{\frac {2n}{i}}\right).$

Si l’on compare maintenant les coefficients des puissances de $\sin \theta ,$ on aura

$\left(4n^{2}-i^{2}\right)e=\mathrm {\sideset {^{1}}{}B}$

ou

$\left(4n^{2}-i^{2}\right)e=-{\frac {2n+i}{i}}gf+{\frac {2n+i}{i}}2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \,;$

partant,

${\frac {2n-i}{i}}e+{\frac {gf}{i^{2}}}-{\frac {2\mathrm {K} }{i^{2}}}\sin \nu \cos \nu =0,$

équation qui est la même que l’équation (23). On aura ensuite

${\begin{aligned}\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(1)}-4n^{2}e\quad &=\mathrm {B} ^{(1)},\\\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(2)}-4n^{2}e^{(1)}&=\mathrm {B} ^{(2)},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\-4n^{2}e^{(r)}&=\mathrm {B} ^{(r+1)}\end{aligned}}$

ou

$-4n^{2}e^{(r)}=gf^{(r)}\left(2r+2+{\frac {2n}{i}}\right).$

Si l’on compare cette équation avec l’équation (24), on en tirera

$q={\frac {2n^{2}}{g\left(2r^{2}+5r+3+{\cfrac {n}{i}}\right)}}\,;$

on déterminera ensuite les $2r+2$ quantités $f,f^{(1)},f^{(2)},\ldots ,f^{(r)},e,e^{(1)},$$e^{(2)},\ldots ,e^{(r)}$ au moyen des équations (23) et (24), et des $2r$ équations

$f=\mathrm {A} ,\qquad f^{(1)}=\mathrm {A} ^{(1)},\qquad \ldots ,\qquad f^{(r-1)}=\mathrm {A} ^{(r-1)},$

${\begin{aligned}&\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(1)}-4n^{2}e\quad =\mathrm {B} ^{(1)},\\&\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(2)}-4n^{2}e^{(1)}=\mathrm {B} ^{(2)},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(r)}-4n^{2}e^{(r-1)}=\mathrm {B} ^{(r)}.\end{aligned}}$

Pour satisfaire ensuite à la cinquième et à la sixième des équations (L),