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on aura d’abord, en comparant les coefficients de ${\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},$ l’équation suivante

(23)

${\frac {2n-i}{i}}e+{\frac {gf}{i^{2}}}-{\frac {2\mathrm {K} }{i^{2}}}\sin \nu \cos \nu =0\,;$

en divisant ensuite tous les autres termes de l’équation par $\sin \theta \cos \theta ,$ on aura une équation de cette forme

${\begin{aligned}f&+f^{(1)}\sin ^{2}\theta +f^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +f^{(r)}\sin ^{2r}\theta \\&=\mathrm {A} +\mathrm {A} ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\mathrm {A} ^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +\mathrm {A} ^{(r)}\sin ^{2r}\theta ,\end{aligned}}$

$\mathrm {A,A^{(1)},A^{(2)}} ,\ldots ,\mathrm {A} ^{(r)}$ étant des fonctions de $f,f^{(1)},\ldots ,e,e^{(1)},\ldots$ très faciles à déterminer, et l’on aura

$\mathrm {A} ^{(r)}={\frac {qgf^{(r)}}{i^{2}}}-\left(2r+{\frac {3i-2n}{i}}\right)qe^{(r)}\,;$

en comparant séparément les coefficients des différentes puissances de $\sin \theta ,$ on aura les $r+1$ équations suivantes

$\mathrm {A} =f,\qquad \mathrm {A} ^{(1)}=f^{(1)},\qquad \mathrm {A} ^{(2)}=f^{(2)},\qquad \ldots ,\qquad \mathrm {A} ^{(r)}=f^{(r)},$

et cette dernière équation donne, en y substituant au lieu de $\mathrm {A} ^{(r)}$ sa valeur,

(24)

$\left(qg-i^{2}\right)f^{(r)}=q\left(2ri^{2}+3i^{2}-2ni\right)e^{(r)}.$

Si l’on substitue pareillement les valeurs précédentes de $b$ et de $b^{(1)},$ dans la quatrième des équations (L), on aura une équation de cette forme

${\begin{aligned}\left(4n^{2}-i^{2}\right)e&+\left[\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(1)}-4n^{2}e\right]\sin ^{2}\theta \\&+\left[\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(2)}-4n^{2}e^{(1)}\right]\sin ^{4}\theta +\ldots \\&+\left[\left(4n^{2}-i^{2}\right)e^{(r)}-4n^{2}e^{(r-1)}\right]\sin ^{2r}\theta -4n^{2}e^{(r)}\sin ^{2r+2}\theta \\=&\mathrm {\sideset {^{1}}{}B} +\mathrm {B} ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\mathrm {B} ^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +\mathrm {B} ^{(r+1)}\sin ^{2r+2}\theta ,\end{aligned}}$

$\mathrm {\sideset {^{1}}{}B,B^{(1)},B^{(2)}} ,\ldots$ étant des coefficients faciles à déterminer, et l’on trouvera

$\mathrm {\sideset {^{1}}{}B} =-{\frac {2n+i}{i}}gf+{\frac {2n+i}{i}}2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu$