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substituant donc, au lieu de ${\frac {\partial v}{\partial \varpi }}$ et de $g{\frac {\partial y}{\partial \theta }},$ leurs valeurs dtns la première et dans la seconde des équations ($\Gamma$) on aura les deux suivantes

(21)$\left\{{\begin{aligned}y&=-l\gamma {\frac {\partial u}{\partial \theta }}+{\frac {l\gamma \cos \theta }{i\sin \theta }}\left[(2n-i)u-2na^{(1)}\right]-lu{\frac {\partial \gamma }{\partial \theta }}+{\frac {lg\gamma (y'-a)}{i^{2}\sin ^{2}\theta }}\\&-{\frac {2\mathrm {K} l\gamma \cos \theta }{i^{2}\sin \theta }}\sin \nu \cos \nu \cos(it+\varpi )-{\frac {l\mathrm {K} \gamma \sin ^{2}\nu }{2i^{2}}}\cos(2it+2\varpi ),\end{aligned}}\right.$

(22)$\left\{{\begin{aligned}i^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varpi ^{2}}}&+4n^{2}\left(u-a^{(1)}\right)\cos ^{2}\theta \\=-&g{\frac {\partial y'}{\partial \theta }}+{\frac {2ng\cos \theta }{i\sin \theta }}(a-y')\\+&{\frac {2\mathrm {K} }{i}}\sin \nu \cos \nu \left[(2n+2i)\cos ^{2}\theta -i\right]\cos(it+\varpi )\\+\mathrm {K} \sin 2\theta &\left({\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu \right)+\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin 2\theta {\frac {n+i}{2i}}\cos(2it+2\varpi )\,;\end{aligned}}\right.$

pour satisfaire à ces équations, faisons d’abord $\delta =0,$ en sorte que l’on ait $y'=y,$ et supposons

${\begin{aligned}y=&a\quad +b\quad \cos(it+\varpi )+c\quad \cos(2it+2\varpi ),\\u=&a^{(1)}+b^{(1)}\cos(it+\varpi )+c^{(1)}\cos(2it+2\varpi ),\end{aligned}}$

$a,b,c,a^{(1)},b^{(1)},c^{(1)}$ étant des fonctions de $\theta$ seul, qu’il s’agit de déterminer ; en substituant ces valeurs dans les équations (21) et (22), et comparant séparément les coefficients de $\cos(it+\varpi )$ et de $\cos(2it+2\varpi ),$ on aura les six équations suivantes :

(L)$\left\{{\begin{aligned}a\sin \theta &=-l{\frac {\partial .\gamma a^{(1)}\sin \theta }{\partial \theta }},\\g{\frac {da}{d\theta }}&=\mathrm {K} \sin 2\theta \left({\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu \right),\\b=-l\gamma {\frac {\partial b^{(1)}}{\partial \theta }}+{\frac {2n-i}{i}}l\gamma b^{(1)}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}&-lb^{(1)}{\frac {\partial \gamma }{\partial \theta }}+{\frac {lgb\gamma }{i^{2}\sin ^{2}\theta }}\\&\quad \qquad -{\frac {2l\mathrm {K} \gamma \cos \theta }{i^{2}\sin \theta }}\sin \nu \cos \nu ,\\b^{(1)}\left(4n^{2}\cos ^{2}\theta -i^{2}\right)=-g{\frac {\partial b}{\partial \theta }}-&{\frac {2ngb\cos \theta }{i\sin \theta }}\\+{\frac {2\mathrm {K} }{i}}&\sin \nu \cos \nu \left[(2n+2i)\cos ^{2}\theta -i\right],\\c=-l\gamma {\frac {\partial c^{(1)}}{\partial \theta }}+{\frac {2n-i}{i}}l\gamma c^{(1)}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}&-lc^{(1)}{\frac {\partial \gamma }{\partial \theta }}+{\frac {lgc\gamma }{i^{2}\sin ^{2}\theta }}\\&\qquad \quad \qquad -{\frac {l\mathrm {K} \gamma \sin ^{2}\nu }{2i^{2}}},\\4c^{(1)}\left(n^{2}\cos ^{2}\theta -i^{2}\right)=-g{\frac {\partial c}{\partial \theta }}-&{\frac {2ngc\cos \theta }{i\sin \theta }}+{\frac {n+i}{2i}}\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin ^{2}\theta \,;\end{aligned}}\right.$