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si l’on intègre par rapport à $\varpi$ la dernière de ces équations, on aura

{\begin{aligned}{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}&=-{\frac {2nu\cos \theta }{i\sin \theta }}-{\frac {gy}{i^{2}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\Delta \int \mathrm {C} d\varpi \sin \theta }{i^{2}\sin ^{2}\theta }}\\&+{\frac {2\mathrm {K} }{i^{2}}}\sin \nu \cos \nu {\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\cos(it+\varpi )+{\frac {\mathrm {K} }{2i^{2}}}\sin ^{2}\nu \cos(2it+2\varpi )+\mathrm {H} ,\end{aligned}}

$\mathrm {H}$ étant une fonction de $\theta$ ajoutée en intégrant ; soit

gy-\Delta \int \mathrm {C} d\varpi \sin \theta =gy',

et l’on aura

{\begin{aligned}{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}&=-{\frac {2nu\cos \theta }{i\sin \theta }}-{\frac {gy'}{i^{2}\sin ^{2}\theta }}\\&+{\frac {2\mathrm {K} }{i^{2}}}\sin \nu \cos \nu {\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\cos(it+\varpi )+{\frac {\mathrm {K} }{2i^{2}}}\sin ^{2}\nu \cos(2it+2\varpi )+\mathrm {H} \,;\end{aligned}}

or, si l’on nomme $a$ et $a^{(1)}$ les parties des expressions de $y'$ et de $u,$ qui sont indépendantes de l’angle $it+\varpi ,$ et que l’on considère que $v$ ne devant renfermer que des quantités périodiques (voir ci-après l’article XXI), ${\frac {\partial v}{\partial \varpi }}$ ne peut renfermer de termes qui soient fonctions de $\theta$ seul, on aura