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ment d’accord entre eux ; les deux méthodes qui nous y ont conduit sont conséquemment exactes et pourraient, si cela était nécessaire, se servir de confirmation l’une à l’autre ; la première, il est vrai, a sur la seconde l’avantage de s’étendre au cas où l’astre a un mouvement quelconque dans l’espace, mais celle-ci a, de son côté, l’avantage de donner directement le véritable mouvement que le fluide doit prendre à la longue, quels qu’aient été d’ailleurs sa figure et son mouvement primitifs, et, comme elle est beaucoup plus simple que la première, nous allons l’appliquer au cas de la nature, dans lequel la planète a un mouvement de rotation sur son axe.

XV.

Reprenons les équations (6), (7) et (9) de l’article VI et supposons, comme précédemment, $\varphi =mt\,;$ si l’on fait $n-m=i,$ on prouvera par les mêmes raisonnements de l’article XIII que, après un temps considérable, $u,v$ et $y$ ne seront plus fonctions que de l’angle $\theta ,$ et des sinus et cosinus de l’angle $it+\varpi ,$ et qu’ainsi l’on aura

${\frac {du}{dt}}=i{\frac {\partial u}{\partial \varpi }},\qquad {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=i^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varpi ^{2}}},$

${\frac {dv}{dt}}=i{\frac {\partial v}{\partial \varpi }},\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=i^{2}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial \varpi ^{2}}}\,;$

on aura donc

($\Gamma$)$\left\{{\begin{aligned}y&=-l\gamma \left({\frac {\partial u}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+u{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\right)-lu{\frac {\partial \gamma }{\partial \theta }},\\i^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varpi ^{2}}}&-2ni{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}\sin \theta \cos \theta \\&=-g{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+\mathrm {B} \Delta \\+\mathrm {K} &\left\{\sin 2\theta \left[{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu +{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \cos(2it+2\varpi )\right]\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+2\cos 2\theta \sin \nu \cos \nu \cos(it+\varpi ){\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right\},\\i^{2}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial \varpi ^{2}}}&\sin ^{2}\theta +2ni{\frac {\partial u}{\partial \varpi }}\sin \theta \cos \theta \\&=-g{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+\mathrm {C} \Delta \sin \theta -\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \sin 2\theta \sin(it+\varpi )\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad -\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin ^{2}\theta \sin(2it+2\varpi )\,;\end{aligned}}\right.$