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partant, ${\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \theta }}=0,$ ce qui réduit $\mathrm {H}$ à une constante que l’on déterminera au moyen de l’équation

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }y\sin \theta d\theta d\varpi =0,$

d’où l’on tirera facilement $mathrmH=0\,;$ il suit de là que l’on doit conserver tous les termes de $\mathrm {Y} ,$ et que cette intégrale particulière de l’équation $(\Lambda ),$ lorsqu’on y suppose $\Delta =0,$ est la plus générale qu’on puisse admettre dans la question présente.

Considérons maintenant le fluide comme ayant une densité quelconque $\Delta ,$ si l’on suppose

$y=a(1+3\cos 2\theta )+c\sin 2\theta \cos(mt-\varpi )+e\sin ^{2}\theta \cos(2mt-2\varpi ),$

on aura, par l’article IX,

${\begin{aligned}\mathrm {B} \Delta =-{\frac {24}{5}}\pi \Delta a\sin 2\theta &+{\frac {8}{5}}\pi \Delta c\cos 2\theta \cos(mt-\varpi )\\&+{\frac {4}{5}}\pi \Delta e\sin 2\theta \cos(2mt-2\varpi ),\\\mathrm {C} \Delta ={\frac {8}{5}}\pi \Delta c\cos \theta \sin(&mt-\varpi )+{\frac {8}{5}}\pi \Delta e\sin \theta \sin(2mt-2\varpi )\,;\end{aligned}}$

en substituant ces valeurs dans l’équation $(\Lambda )$ de l’article XIII, on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varpi ^{2}}}&\left(m^{2}\sin ^{2}\theta -lg\right)\\=&lg{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \theta ^{2}}}\sin ^{2}\theta +lg\sin \theta \cos \theta {\frac {\partial y}{\partial \theta }}\\&+\left[{\frac {24}{5}}\pi \Delta la-l\mathrm {K} \left({\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu \right)\right]\sin \theta {\frac {\partial .\sin \theta \sin 2\theta }{\partial \theta }}\\&+\left({\frac {48}{5}}\pi \Delta lc+12l\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \right)\sin ^{3}\theta \cos \theta \cos(mt-\varpi )\\&+\left(3l\mathrm {K} \sin ^{2}\nu +{\frac {24}{5}}\pi \Delta le\right)\sin ^{4}\theta \cos(2mt-2\varpi )\,;\end{aligned}}$

en substituant dans cette équation, au lieu de $y$ sa valeur, on trouvera

${\begin{aligned}a&={\frac {\mathrm {K} \left(\cos ^{2}\nu -{\cfrac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right)}{6g-{\cfrac {24}{5}}\pi \Delta }},\\c&={\frac {6l\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu }{6lg-{\cfrac {24}{5}}\pi \Delta l-m^{2}}},\\e&={\frac {3l\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{6lg-{\cfrac {24}{5}}\pi \Delta l-4m^{2}}}\,;\end{aligned}}$