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quelconques de $\theta \,;$ la troisième des équations $(\Gamma )$ donnera, en l’intégrant une fois par rapport à $\varpi ,$

$m^{2}{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}\sin ^{2}\theta =-g(\mathrm {H} +\varepsilon )+\mathrm {G} -g\lambda \cos(mt-\varpi )-g{\text{ϐ}}\cos(2mt-2\varpi ),$

$\mathrm {G}$ étant une constante arbitraire qui peut être fonction quelconque de $\theta \,;$ si l’on substitue, au lieu de $y,u$ et ${\frac {\partial v}{\partial \varpi }},$ ces valeurs dans l’équation

$y=-l\left({\frac {\partial u}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+u{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\right)$

et que l’on compare séparément les coefficients de $(ml-\varpi )^{2},\ (mt-\varpi ),$$\cos(mt-\varpi )$ et $\cos(2mt-2\varpi ),$ on verra facilement que les valeurs trouvées dans l’article précédent, pour $\lambda$ et ϐ, ne peuvent satisfaire aux équations de condition qui en résultent ; d’où il suit que les deux termes $\lambda \cos(mt-\varpi )$ et ϐ$\cos(2mt-2\varpi )$ sont uniquement dus à l’action de l’astre et qu’ils doivent conséquemment être admis. Partant, si dans l’expression

$\mathrm {H} +\varepsilon +\lambda \cos(mt-\varpi )+{\text{ϐ}}\cos(2mt-2\varpi )$

de $y$ il y a quelques termes à rejeter, ils ne peuvent se rencontrer que parmi ceux de la quantité $\mathrm {H} +\varepsilon \,;$ pour déterminer ces termes, supposons $\Delta =0$ et $\mathrm {K}$ quelconque dans la seconde des deux équations $(\Gamma )\,;$ si au lieu de $y$ on y substitue $\mathrm {H} +\varepsilon +\lambda \cos(mt-\varpi )+{\text{ϐ}}\cos(2mt-2\varpi )$ et que l’on observe que la quantité $u$ ne devant renfermer que des quantités périodiques, afin que $\alpha u$ reste toujours de l’ordre $\alpha ,$ comme nous le supposons ici, ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varpi ^{2}}}$ ne doit renfermer aucun terme qui soit fonction de $\theta$ seul, on aura

$-g{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \theta }}-g{\frac {\partial \varepsilon }{\partial \theta }}+\mathrm {K} \sin 2\theta \left({\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu \right)=0\,;$

mais, par la nature de $\varepsilon ,$ on a

$0=-g{\frac {\partial \varepsilon }{\partial \theta }}+\mathrm {K} \sin 2\theta \left({\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu \right)\,;$