Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/144

$a,b,c$ et $e$ étant des coefficients constants, et l’on trouvera facilement

${\begin{aligned}b&={\frac {\mathrm {K} }{2g}}\left(\cos ^{2}\nu -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right),\\c&={\frac {6l\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu }{6lg-m^{2}}},\\e&={\frac {3l\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{6lg-4m^{2}}}\,;\end{aligned}}$

partant, on aura

${\begin{aligned}y=a&+{\frac {\mathrm {K} }{2g}}\left(\cos ^{2}\nu -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right)\cos 2\theta \\&+{\frac {6l\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu }{6lg-m^{2}}}\sin 2\theta \cos(mt-\varpi )\\&+{\frac {3l\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{6lg-4m^{2}}}\sin ^{2}\theta \cos(2mt-2\varpi )\,;\end{aligned}}$

pour déterminer la constante $a,$ on observera que l’on doit avoir, comme on l’a vu dans l’article précédent,

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }y\sin \theta d\theta d\varpi =0\,;$

d’où l’on tire

$a={\frac {\mathrm {K} }{6g}}\left(\cos ^{2}\nu -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \right).$

XIV.

La valeur précédente de $y$ satisfait à la vérité à l’équation $(\Lambda ),$ mais elle n’est pas la seule, car, si l’on nomme $Y$ cette valeur et que l’on fasse $y=y'+\mathrm {Y} ,$ on aura, pour déterminer $y',$ l’équation

${\frac {\partial ^{2}y'}{\partial \varpi ^{2}}}\left(m^{2}\sin ^{2}\theta -lg\right)=lg{\frac {\partial ^{2}y'}{\partial \theta ^{2}}}\sin ^{2}\theta +lg{\frac {\partial y'}{\partial \theta }}\sin \theta \cos \theta .$

Soit $y'=\mathrm {R}$ l’intégrale complète de cette équation, $\mathrm {R}$ devant être, par ce qui précède, fonction de $\theta ,$ de $\sin(mt-\varpi )$ et de $\cos(mt-\varpi ),$ on aura $y=\mathrm {R} +Y$ pour l’expression complète de $y$ dans le cas de $\Delta =0\,;$ d’où l’on voit que les oscillations du fluide peuvent être variées à l’in-