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dernières équations, dans l’équation $(\sigma ),$ on aura

$(\Lambda )\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \varpi ^{2}}}\left(m^{2}\sin ^{2}\theta -lg\right)&=lg{\frac {\partial ^{2}y}{\partial \theta ^{2}}}\sin ^{2}\theta +lg\sin \theta \cos \theta {\frac {\partial y}{\partial \theta }}\\&-\Delta l\sin \theta {\frac {\partial .\mathrm {B} \sin \theta }{\partial \theta }}-\Delta l\sin \theta {\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial \varpi }}\\&-l\mathrm {K} \sin \theta {\frac {\partial .\sin \theta \sin 2\theta }{\partial \theta }}\left({\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu \right)\\&+12l\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \sin ^{3}\theta \cos \theta \cos(mt-\varpi )\\&+3\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin ^{4}\theta \cos(2mt-2\varpi ).\end{aligned}}\right.$

Supposons d’abord $\Delta =0,$ et l’on aura pour déterminer $y$ une équation aux différences partielles du second ordre, dont l’intégrale complète, si elle est possible, se déterminera facilement par la méthodique j’ai donnée pour cet objet dans les Mémoires de l’Académie pour l’année 1773^[1] ; mais il n’est pas nécessaire ici, comme nous le verrons bientôt, de connaître cette intégrale complète, il suffit d’avoir une intégrale particulière. Pour cela, soit

$y=\varepsilon +\lambda \cos(mt-\varpi )+{\text{ϐ}}\cos(2mt-2\varpi ),$

$\varepsilon ,\lambda$ et ϐ étant fonctions de $\theta$ seul et de constantes ; en substituant cette valeur de $y$ dans l’équation précédente, on aura, pour déterminer ces fonctions, les trois équations suivantes :

$0=g{\frac {\partial .{\cfrac {\partial \varepsilon }{\partial \theta }}\sin \theta }{\partial \theta }}-\mathrm {K} \left({\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu \right){\frac {\partial .\sin \theta \sin 2\theta }{\partial \theta }},$

${\begin{aligned}-\lambda \left(m^{2}\sin ^{2}\theta -lg\right)&=\\lg{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial \theta ^{2}}}&\sin ^{2}\theta +lg\sin \theta \cos \theta {\frac {\partial \lambda }{\partial \theta }}+12l\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \sin ^{3}\theta \cos \theta ,\\-4{\text{ϐ}}\left(m^{2}\sin ^{2}\theta -lg\right)&=lg{\frac {\partial ^{2}{\text{ϐ}}}{\partial \theta ^{2}}}\sin ^{2}\theta +lg\sin \theta \cos \theta {\frac {\partial {\text{ϐ}}}{\partial \theta }}+3l\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin ^{4}\theta .\end{aligned}}$

Pour satisfaire à ces équations, on fera

${\begin{aligned}\varepsilon &=a+b\cos 2\theta ,\\\lambda &=c\sin 2\theta ,\\{\text{ϐ}}&=e\sin ^{2}\theta \,;\end{aligned}}$

1. Page 5 du présent volume.