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l’équation

$y=-{\frac {l}{\sin \theta }}{\frac {\partial .u\sin \theta }{\partial \theta }}$

donne ensuite, en l’intégrant,

$u\sin \theta =-{\frac {\mathrm {K} }{6lg}}\left({\frac {1}{2}}\cos \theta -{\frac {1}{2}}\cos 3\theta \right)+\mathrm {A} \,;$

pour déterminer la constante $\mathrm {A} ,$ on observera que l’astre étant supposé au pôle, on doit avoir $u=0$ pour tous les points du fluide situés au pôle ; partant,

$\mathrm {A} =0\qquad {\text{et}}\qquad u=-{\frac {\mathrm {K} }{6lg}}\sin 2\theta .$

Supposons maintenant le fluide d’une densité quelconque, et concevons que dans cette supposition $u$ soit égal à $e\sin 2\theta ,$ on aura, par l’article IX,

$\mathrm {B} \Delta ={\frac {24}{5}}\pi \Delta le\sin 2\theta \,;$

l’équation (12) donnera donc

$0=-g{\frac {\partial y}{\partial \theta }}-\left(\mathrm {K} -{\frac {24}{5}}\pi \Delta le\right)\sin 2\theta \,;$

soit

$\mathrm {K'=K} -{\frac {24}{5}}\Delta \pi le,$

et l’on aura, comme précédemment,

$y={\frac {\mathrm {K} '}{6g}}(1+3\cos 2\theta )\qquad {\text{et}}\qquad u=-{\frac {\mathrm {K} '}{6lg}}\sin 2\theta \,;$

partant,

$-{\frac {\mathrm {K} '}{6lg}}=e\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {{\cfrac {24}{5}}\pi \Delta le-\mathrm {K} }{6lg}}=e\,;$

d’où l’on tire

$e=-{\frac {\mathrm {K} }{a^{2}}},$

$a^{2}$ étant égal à $6lg-{\frac {24}{5}}\pi \Delta l\,;$ donc

$u=-{\frac {\mathrm {K} }{a^{2}}}\sin 2\theta \qquad {\text{et}}\qquad y={\frac {l\mathrm {K} }{a^{2}}}(1+3\cos 2\theta )$