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change en $g-{\frac {4}{3}}\pi \Delta \,;$ d’où l’on voitqu’à cette différence près, lorsque le fluide à une densité quelconque, son mouvement se détermine précisément de la même manière que lorsqu’il est infiniment rare. \mathrm{ { il}}

X.

Pour donner une application des formules précédentes, supposons que l’astre reste toujours à la même distance du centre $\mathrm {C}$ de la planète et sur le même parallèle, mais qu’il tourne autour de la planète avec un mouvement angulaire égal à $mt\,;\ \mathrm {K}$ et $\nu$ seront alors constants, et si, pour plus de simplicité, on prend pour premier méridien celui où l’astre se trouvait à l’origine du mouvement, ou lorsque $t=0,$ on aura $\varphi =mt\,;$ soit de plus

$6lg-{\frac {24}{5}}\pi \Delta l=a^{2},$

on aura, en intégrant les équations (19) et (20),

${\begin{aligned}x=&\mathrm {H} \sin at+\mathrm {L} \cos at+{\frac {\mathrm {K} }{a^{2}}}\left({\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu \right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{2a^{2}-8m^{2}}}\cos(2mt-2\varpi ),\\z=&\mathrm {M} \sin at+\mathrm {N} \cos at+{\frac {2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu }{a^{2}-m^{2}}}\cos(mt-\varpi )\,;\end{aligned}}$

$\mathrm {H,L,M}$ et $\mathrm {N}$ étant des constantes arbitraires qu’il faut déterminer par la supposition de

$x=0,\qquad {\frac {dx}{dt}}=0,\qquad z=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {dz}{dt}}=0,$

lorsque $t=0,$ ce qui donne les quatre équations suivantes

${\begin{aligned}0=&\ \ \mathrm {L} +{\frac {\mathrm {K} }{a^{2}}}\left({\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu \right)+{\frac {\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{2a^{2}-8m^{2}}}\cos 2\varpi ,\\0=&a\mathrm {H} +{\frac {m\mathrm {K} \sin ^{2}\nu }{a^{2}-4m^{2}}}\sin 2\varpi ,\\0=&\ \ \mathrm {N} +{\frac {2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu }{a^{2}-m^{2}}}\cos \varpi ,\\0=&a\mathrm {M} +{\frac {2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu }{a^{2}-m^{2}}}\sin \varpi \,;\end{aligned}}$