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On aura pareillement

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\sin p\cos ^{4}p\cos ^{2\mu }\theta 'dpdq$

$={\frac {2\pi }{4\mu +5}}\left\{{\begin{aligned}\cos &^{2\mu }\theta +{\frac {2}{1}}{\frac {2\mu (2\mu -1)}{(4\mu +3)(4\mu +1)}}\cos ^{2\mu -2}\theta \\&+{\frac {3.4}{1.2}}{\frac {2\mu (2\mu -1)(2\mu -2)(2\mu -3)}{(4\mu +3)(4\mu +1)(4\mu -1)(4\mu -3)}}\cos ^{2\mu -4}\theta \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$

Si l’on substitue présentement, au lieu de $\sin ^{2}\theta ',\ 1-\cos ^{2}\theta ',$ dans la valeur précédente de $\mathrm {C} ,$ et que, après avoir intégré, on restitue $1-\sin ^{2}\theta$ au lieu de $\cos ^{2}\theta ,$ on trouvera pour $\mathrm {C} \Delta$ une expression de cette forme

$\mathrm {C} \Delta =\left[b\sin(\varphi -\varpi )-a\cos(\varphi -\varpi )\right]$

$\times \cos \theta \left(\lambda +\lambda ^{(1)}\sin ^{2}\theta +\lambda ^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +\lambda ^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)$

$\qquad +\left[b'\sin(2\varphi -2\varpi )-a'\cos(2\varphi -2\varpi )\right]$

$\times \sin \theta \left({\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right.{\text{ʎ}}+{\text{ʎ}}^{(1)}\sin ^{2}\theta +{\text{ʎ}}^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +{\text{ʎ}}^{(r)}\sin ^{2r}\theta \left.{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right),$

$\lambda ,\lambda ^{(1)},\ldots ,{\text{ʎ}},{\text{ʎ}}^{(1)},\ldots$ étant des coefficients constants que l’on déterminera facilement par ce qui précède, et l’on aura

$\lambda ^{(r)}={\frac {4\Delta \pi f^{(r)}}{4r+5}}\qquad {\text{et}}\qquad {\text{ʎ}}^{(r)}={\frac {8\Delta \pi p^{(r)}}{4r+5}}\,;$

ayant ainsi $\mathrm {C} \Delta ,$ on aura sur-le-champ $\mathrm {B} \Delta ,$ par la remarque de l’article V, car l’équation

${\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial \varpi }}={\frac {\partial .\mathrm {C} \sin \theta }{\partial \theta }},$

que nous avons trouvée dans cet article, donne

$\mathrm {B} \Delta =\Delta \int _{0}^{\pi }{\frac {\partial .\mathrm {C} \sin \theta }{\partial \theta }}d\varpi +\mathrm {H} \Delta ,$

$\mathrm {H}$ étant une fonction de $\theta$ sans $\varpi \,;$ or $\mathrm {B}$ étant, comme on l’a vu, égal à $-\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\sin p{\frac {\cos q}{\sin q}}y'dpdq,$ il est clair que l’on aura

$\mathrm {H} =-\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\varepsilon \sin p{\frac {\cos q}{\sin q}}\left(3\cos ^{2}\theta '-1\right)dpdq\,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {H} =-{\frac {12}{5}}\pi \varepsilon \sin 2\theta .$