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Or on a généralement

$\int _{0}^{\pi }\sin(\varphi -2q)\sin ^{2\mu }\theta 'dq$

$=\int _{0}^{\pi }\sin(\theta -2q)\left\{1-[\cos \theta \cos ^{2}p+\sin ^{2}p\cos(\theta -2q)]^{2}\right\}^{\mu }dq=0\,;$

on a, de plus,

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\sin p\cos ^{2}pcos^{2\mu +1}\theta 'dpdq$

$=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\sin p\cos ^{2}p[\cos \theta \cos ^{2}p+\sin ^{2}p\cos(\theta -2q)]^{2\mu +1}dpdq\,;$

si l’on considère maintenant que

$\int _{0}^{\pi }\cos ^{i}(\theta -2q)dq=0$

lorsque $i$ est impair, que

$\int _{0}^{\pi }\cos ^{i}(\theta -2q)dq={\frac {1.3.5\ldots i-1}{2.4.6\ldots i}}\pi$

lorsque $i$ est un nombre pair, et que

$\int _{0}^{\pi }\sin p\cos ^{2i}p(1-\cos ^{2}p)^{s}dp={\frac {2.4.6\ldots 2s}{(2i+1)(2i+3)(2i+5)\ldots (2i+2s+1)}},$

on trouvera

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\sin p\cos ^{2}p\cos ^{2\mu +1}\theta 'dpdq$

$={\frac {2\pi }{4\mu +5}}\left\{{\begin{aligned}\cos &^{2\mu +1}\theta +{\frac {2}{1}}{\frac {(2\mu +1)2\mu }{(4\mu +3)(4\mu +1)}}\cos ^{2\mu -1}\theta \\&+{\frac {3.4}{1.2}}{\frac {(2\mu +1)2\mu (2\mu -1)(2\mu -2)}{(4\mu +3)(4\mu +1)(4\mu -1)(4\mu -3)}}\cos ^{2\mu -3}\theta \\&+{\frac {4.5.6}{1.2.3}}{\frac {(2\mu +1)\ldots (2\mu -4)}{(4\mu +3)\ldots (4\mu -7)}}\cos ^{2\mu -5}\theta \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$