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que $y$ l’est de $\theta$ de $\varpi \,;$ 2^o que l’on a

$\cos \theta '=\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)=\cos \theta \cos ^{2}p+\sin ^{2}p\cos(\theta -2q)$

et

$\sin(\varpi '-\varpi )={\frac {2\sin p\cos p\sin q}{\sin ^{2}\theta '}}\,;$

3^o enfin que les doubles intégrales précédentes doivent être prises depuis $p$ et $q$ égaux à zéro jusqu’à $p$ et $q$ égaux à $\pi ,$ et qu’ainsi l’on peut rejeter les termes de la forme $\mathrm {P} \cos pdqdp,\ \mathrm {P}$ ne renfermant que des puissances paires de $\cos p.$ Concevons, cela posé, que l’on ait, comme précédemment,

${\begin{aligned}y=&l\left(3z'\sin 2\theta -3x\cos 2\theta -x-{\frac {\partial ^{2}x}{\partial \varpi ^{2}}}\right),\\u=&x\sin 2\theta +z\cos 2\theta \\\end{aligned}}$

et

$v={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}\,;$

$x$ et $s$ étant des fonctions de $t$ et de $\varpi$ sans $\theta ,$ telles que l’on ait

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}+z=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial ^{3}x}{\partial \varpi ^{3}}}+4{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}=0\,;$

en intégrant ces deux dernières équations, on aura

$z=a\sin(\varphi -\varpi )+b\cos(\varphi -\varpi )$

et

$x=c+a'\sin(2\varphi -2\varpi )+b'\cos(2\varphi -2\varpi )\,;$

$a,b,c,a',b'$ étant des fonctions de $t$ sans $\varpi$ ni $\theta \,;$ en substituant ces valeurs de $z$ et de $x$ dans l’expression de $y,$ on aura

${\begin{aligned}y=2lc(1-3\cos ^{2}\theta )&+6l\sin \theta \cos \theta \left[a\sin(\varphi -\varpi )+b\cos(\varphi -\varpi )\right]\\&+6l\sin ^{2}\theta \left[a'\sin(2\varphi -2\varpi )+b'\cos(2\varphi -2\varpi )\right].\end{aligned}}$

Supposons, pour plus de généralité,

${\begin{aligned}y=&\varepsilon \left(3\cos ^{2}\theta -1\right)\\&+\left[a\sin(\varphi -\varpi )+b\cos(\varphi -\varpi )\right]\\&\qquad \times \sin \theta \cos \theta \left(f+f^{(1)}\sin ^{2}\theta +f^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +f^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right)\\&+\left[a'\sin(2\varphi -2\varpi )+b'\cos(2\varphi -2\varpi )\right]\\&\qquad \times \sin ^{2}\theta \left(p+p^{(1)}\sin ^{2}\theta +p^{(2)}\sin ^{4}\theta +\ldots +p^{(r)}\sin ^{2r}\theta \right),\end{aligned}}$