Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/127

on a à cette même origine

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}\quad =&0&\qquad {\text{ou}}\,\qquad x'\ \ \ =&0,\\{\frac {\partial ^{2}x}{\partial \varpi \partial t}}=&0&\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {dx'}{dt}}=&0,\\{\frac {\partial ^{3}x}{\partial \varpi ^{3}}}\ \ =&0&\qquad {\text{ou}}\ \qquad x''\ \ =&0\\\end{alignedat}}$

et

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial ^{4}x}{\partial \varpi ^{3}\partial t}}=&0&\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {dx''}{dt}}=&0\,;\end{alignedat}}$

on a donc

$x'=x''\,;$

partant,

${\frac {\partial ^{2}x'}{\partial \varpi ^{3}}}=-4x'\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {\partial ^{3}x}{\partial \varpi ^{3}}}=-4{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}.$

Il résulte de là que les valeurs de $u$ et de $v$ ont été bien choisies, puisqu’elles satisfont aux équations (12), (13) et (14) et aux conditions primitives du mouvement ; rassemblant donc les expressions précédentes, nous aurons

${\begin{aligned}u=&x\sin 2\theta +z\cos 2\theta ,\\v=&{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}\,;\end{aligned}}$

l’équation (11) donnera

$y=l\left(3z\sin 2\theta -3x\cos 2\theta -x-{\frac {\partial ^{2}x}{\partial \varpi ^{2}}}\right),$

et l’on déterminera $x$ et $z$ au moyen des deux équations

(16)

$0={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+6lgx-\mathrm {K} \left[{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu +{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2\varpi )\right],$

(17)

$0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+6lgz-2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -\varpi ).$

Les équations précédentes servent à déterminer le mouvement du fluide à la surface ; on aura celui de tous les points intérieurs, en considérant que l’équation (15) donne, en l’intégrant, $s^{2}u$ égal à une fonction indépendante de $s\,;$ donc, $s$ étant toujours très peu différent de l’unité, l’expression de $u$ sera la même pour tous les points originaire-