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mêmes que celles de l’équation (17), car puisque, à l’origine du mouvement, on a

$z=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {dz}{dt}}=0,$

on aura pareillement à cette origine

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}=0\qquad {\text{ou}}\qquad z'=0$

et

${\frac {\partial ^{3}z}{\partial \varpi ^{2}\partial t}}=0\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {dz'}{dt}}=0\,;$

donc, les constantes arbitraires de l’équation en $z'$ sont déterminées par les mêmes conditions que celles de l’équation en $z\,;$ partant,

$z=z'\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}=-z.$

Pareillement, si l’on différentie l’équation (16) une fois par rapport à $\varpi ,$ et que l’on fasse

${\frac {\partial x}{\partial \varpi }}=x',$

on aura

$0={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+6lgx'-\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin(2\varphi -2\varpi )\,;$

si l’on différence cette dernière équation deux fois de suite par rapport à $\varpi ,$ et que l’on fasse

${\frac {\partial ^{2}x'}{\partial \varpi ^{2}}}=-4x'',$

on aura

$0={\frac {d^{2}x''}{dt^{2}}}+6lgx''-\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin(2\varphi -2\varpi )\,;$

cette équation est la même que l’équation en $x'\,;$ de plus, les constantes arbitraires sont les mêmes, puisque, ayant à l’origine du mouvement

$x=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {dx}{dt}}=0,$