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VIII.

Reprenons les équations drx

(16)

$0={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+6lgx-\mathrm {K} \left[{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu +{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2\varpi )\right],$

(17)

$0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+6lgz-2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -\varpi ),$

leurs intégrales renferment chacune deux constantes arbitraires, au moyen desquelles on peut remplir les conditions de

$u=0,\quad {\frac {du}{dt}}=0,\quad v=0,\quad {\frac {dv}{dt}}=0,\quad y=0,\quad {\frac {dy}{dt}}=0,$

à l’origine du mouvement ; car il est aisé de voir, par ce qui précède, que ces conditions seront remplies si l’on a, à cette origine,

$x=0,\quad {\frac {dx}{dt}}=0,\quad z=0,\quad {\text{et}}\quad {\frac {dz}{dt}}=0\,;$

mais, comme nous ne sommes arrivés aux équations (16) et (17) qu’en supposant

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}=-z,\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial ^{3}x}{\partial \varpi ^{3}}}=-4{\frac {\partial x}{\partial \varpi }},$

il faut, avant que de les admettre, s’assurer si ces nouvelles équations sont compatibles avec elles ; pour cela, différentions deux fois de suite l’équation (17) par rapport à $p\,;$ en faisant

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}=-z',$

nous aurons l’équation suivante

$0={\frac {\partial ^{2}z'}{\partial t^{2}}}+6lgz'-2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -\varpi ).$

Cette équation est précisément la même que l’équation (17) ; de plus, les deux constantes arbitraires de son intégrale sont encore les