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elle deviendra

${\begin{aligned}\sin 2\theta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&+\cos 2\theta {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\\&-6lgx\sin 2\theta -4lgz\cos 2\theta +lg{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial {\cfrac {\cos \theta }{\sin \theta }}}{\partial \theta }}\\&+lgz{\frac {\partial {\cfrac {\cos \theta }{\sin \theta }}\cos 2\theta }{\partial \theta }}-2lg{\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}\\&+\mathrm {K} \sin 2\theta \left[{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu +{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2\varpi )\right]\\&+2\mathrm {K} \cos 2\theta \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -\varpi )\,;\end{aligned}}$

il est aisé de voir que cette équation peut se simplifier par la supposition de ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}=-z,$ et qu’alors la somme des deux termes

$lg{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial {\cfrac {\cos \theta }{\sin \theta }}}{\partial \theta }}\qquad {\text{et}}\qquad lgz{\frac {\partial \left({\cfrac {\cos \theta }{\sin \theta }}\cos 2\theta \right)}{\partial \theta }}$

se réduit au terme

$-2lgz\cos 2\theta \,;$

l’équation précédente devient ainsi

$\sin 2\theta \left\{{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+6lgx-\mathrm {K} \left[{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu +{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2\varpi )\right]\right\}$

$+\cos 2\theta \left[{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+6lgz-2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -\varpi )\right]+2lg{\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}{\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}=0\,;$

en égalant séparément à zéro les coefficients de $\sin 2\theta$ et de $\cos 2\theta ,$ on aura les trois équations suivantes :

(16)

$0={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+6lgx-\mathrm {K} \left[{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu -\cos ^{2}\nu +{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2\varpi )\right],$

(17)

$0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+6lgz-2\mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -\varpi ),$

(18)

$0={\frac {\partial \mathrm {H} '}{\partial \varpi }}.$

Voyons maintenant si ces mêmes équations satisfont à l’équation (13). En y substituant, au lieu de $u$ et de $v,$ leurs valeurs et