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les valeurs de $u$ et de $v$ qui peuvent satisfaire à ces équations ; en considérant l’équation (12), il est assez naturel de croire que l’expression de $u$ peut avoir la forme suivante

$u=x\sin 2\theta +z\cos 2\theta \,;$

$x$ et $z$ étant fonctions de $\varpi ,$ et de $t,$ sans $\theta ,$ voyons conséquemment si cette supposition peut se soutenir et quelles sont les valeurs de $u$ et de $v$ qui en résultent.

En substituant la valeur précédente de $u$ dans l’équation (14), on aura

${\frac {\partial .v\sin ^{2}\theta }{\partial \theta }}=\sin 2\theta {\frac {\partial x}{\partial \varpi }}+\cos 2\theta {\frac {\partial z}{\partial \varpi }}\,;$

d’où l’on tire, en intégrant par rapport à $\theta ,$

$v\sin ^{2}\theta =-{\frac {1}{2}}\cos 2\theta {\frac {\partial x}{\partial \varpi }}+{\frac {1}{2}}\sin 2\theta {\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+\mathrm {H} .$

$\mathrm {H}$ étant une constante qui sera fonction de $\varpi$ et de $t,$ sans $\theta \,;$ donc

$v={\frac {\sin 2\theta }{2\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}-{\frac {\cos 2\theta }{2\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}+{\frac {\mathrm {H} }{\sin ^{2}\theta }}.$

On peut mettre cette expression de $v$ sous une forme un peu plus simple, en considérant que l’on a

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta ,\qquad 1-\cos 2\theta =2\sin ^{2}\theta ,$

et que l’on peut supposer

$\mathrm {H} ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}+\mathrm {H} ',$

$\mathrm {H} '$ ne renfermant point $\theta \,;$ on aura ainsi

$v={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+{\frac {\partial x}{\partial \varpi }}+{\frac {\mathrm {H} '}{\sin ^{2}\theta }}.$