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poser $s=1,$ on aura pour tous les points de cette surface

$(\gamma )\left\{{\begin{aligned}\alpha \delta \theta &\left({\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-2n{\frac {dv}{dt}}\sin \theta \cos \theta \right)+\alpha \delta \varpi \left(\sin ^{2}\theta {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+2n{\frac {du}{dt}}\sin \theta \cos \theta \right)\\&=-\alpha g\delta y-\alpha y\mathrm {A} \left({\frac {\partial \varepsilon }{\partial \theta }}\delta \theta +{\frac {\partial \varepsilon }{\partial \varpi }}\delta \varpi \right)+\mathrm {S} \left(\delta {\frac {1}{f}}-\delta {\frac {1}{f'}}\right).\end{aligned}}\right.$

Soient présentement $\nu$ l’angle $\mathrm {SC} a,$ et $\varphi$ la longitude de l’astre $\mathrm {S} \,;$ la différence des longitudes de l’astre et du point $\mathrm {N}$ sera donc $\varphi -\varpi -nt-\alpha v\,;$ nommons $\psi$ cette différence ; cela posé, la distance perpendiculaire de l’astre au plan de l’équateur est $h\cos \nu \,;$ sa distance à l’axe $\mathrm {C} a$ est $h\sin \nu \,;$ donc sa distance au méridien qui passe par le point $\mathrm {N}$ est $h\sin \nu \sin \psi ,$ et sa distance au plan qui, passant par le centre $\mathrm {C} ,$ est perpendiculaire à l’équateur et au méridien du point $\mathrm {N} ,$ est $h\sin \nu \cos \psi \,;$ os^2 ; on aura les distances respectives du point $\mathrm {N}$ à ces mêmes plans, en changeant dans les quantités précédentes $\nu$ en $\theta +\alpha u,\ h$ en $s+\alpha r,$ et en y supposant $\psi =0\,;$ on aura donc

${\begin{aligned}f^{2}=&\left[h\cos \nu -(s+\alpha r)\cos(\theta +\alpha u)\right]^{2}+h^{2}\sin ^{2}\nu \sin ^{2}\psi \\&+\left[h\sin \nu \cos \psi -(s+\alpha r)\sin(\theta +\alpha u)\right]^{2}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\frac {1}{f}}={\frac {1}{h}}$

$\times \left\{1+{\frac {(s+\alpha r)}{h}}\left[\cos \nu \cos(\theta +\alpha u)+\sin(\theta +\alpha u)\sin \nu \cos \psi \right]-{\frac {(s+\alpha r)^{2}}{2h^{2}}}\right.$

$\left.+{\frac {3(s+\alpha r)^{2}}{2h^{2}}}\left[\cos \nu \cos(\theta +\alpha u)+\sin(\theta +\alpha u)\sin \nu \cos \psi \right]^{2}+\ldots \right\}\,;$

si l’on change, dans cette expression de ${\frac {1}{f}},\ s+\alpha r$ en $a,$ on aura ${\frac {1}{f'}}\,;$ donc, si l’on suppose $h$ très grand, que l’on fasse

${\frac {3\mathrm {S} }{2h^{2}}}=\alpha \mathrm {K} ,$

et que l’on observe qu’à la surface $\delta s$ est de l’ordre $q\delta \theta ,$ et que $s$ est à très peu près égal à $1,$ on aura

$\mathrm {S} \left(\delta {\frac {1}{f}}-\delta {\frac {1}{f'}}\right)=\alpha \mathrm {K} \delta \left[\cos \theta \cos \nu +\sin \theta \sin \nu \cos(\varphi -nt-\varpi )\right]^{2}.$