Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/110

rieur du fluide, mais l’équation (2) prend une forme un peu différente à la surface extérieure. Pour la déterminer, nommons ${\frac {p'}{\Delta }}$ la force accélératrice résultante de la pression du fluide sur le point $\mathrm {N}$ placé à la surface extérieure ; cette pression agit, comme l’on sait, dans la direction du rayon osculateur ; soit ce rayon, et l’on aura, par ce qui précède,

$0=\mathrm {F} \delta f+\mathrm {F} '\delta f'+\ldots +{\frac {p'}{\Delta }}\delta \rho +\delta x{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\delta y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\delta z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,;$

maintenant, si l’on suppose que les différentielles $\delta x,\delta y,\delta z$ soient celles de la surface elle-même, on aura, par la nature du rayon osculateur, $\delta \rho =0$ partant,

$0=\mathrm {F} \delta f+\mathrm {F} '\delta f'+\ldots +\delta x{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\delta y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\delta z{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,;$

l’équation (2) aura donc lieu pour tous les points de la surface extérieure du fluide, pourvu qu’on y suppose $\delta p=0$ et que les différentielles $\delta \varpi ,\delta \theta$ et $\delta s$ soient celles de la surface elle-même.

Il faut ensuite assujettir le mouvement des points de la surface intérieure du fluide à ce que les différences $\delta \varpi ,\delta \theta$ et $\delta s$ aient entre elles les mêmes rapports que les différentielles de l’équation à la surface du sphéroïde $anba\,;$ il faut enfin satisfaire aux conditions primitives du mouvement du fluide.

IV.

Nous supposons ici que le fluide était primitivement en équilibre sur le sphéroïde ; soit donc $1$ le demi-axe $\mathrm {C} a$ du sphéroïde, et $1+q\lambda$ un rayon quelconque $\mathrm {C} n,\ \lambda$ étant, pour plus de simplicité, fonction de $\theta$ seul et $q$ étant extrêmement petit, en sorte que le sphéroïde soit un solide de révolution très peu différent de la sphère. Supposons ensuite que, dans l’état d’équilibre, la profondeur $\mathrm {N} n$ du fluide soit $l\gamma ,\ l$ étant pareillement extrêmement petit et $\gamma$ étant fonction de $\theta$ seul ; le rayon $\mathrm {CN}$ était conséquemment, dans l’état d’équilibre, $1+q\lambda +l\gamma \,;$ nous nous permettrons dans la suite de négliger les quantités multipliées