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ment de rotation de la planète ; soit $nt$ le mouvement angulaire de rotation commun au fluide et à la planète, $t$ désignant le temps écoulé depuis l’origine du mouvement, et supposons qu’après ce temps $\theta$ se change en $\theta +\alpha u,\ \varpi$ en $\varpi +nt+\alpha v$ et $s$ en $s+\alpha r,\ \alpha$ étant une quantité infiniment petite ; $u,v$ et $r$ seront fonctions de $\theta ,\varpi ,s$ et du temps $t$. Imaginons présentement au point $\mathrm {M}$ un prisme fluide rectangle dont les trois dimensions soient

$ds+\alpha {\frac {\partial r}{\partial s}}ds,$

$(s+\alpha r)\left(d\theta +\alpha {\frac {\partial u}{\partial \theta }}d\theta \right)$

et

$(s+\alpha r)\left(d\varpi +\alpha {\frac {\partial v}{\partial \varpi }}d\varpi \right)\sin(\theta +\alpha u),$

les quantités ${\frac {\partial r}{\partial s}},{\frac {\partial u}{\partial \theta }},{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}$ exprimant, suivant la notation reçue, les coefficients de ds de $ds,d\theta$ et $d\varpi ,$ dans les différentielles de $r,u$ et $v\,;$ la solidité de ce prisme sera, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2}$ et nommant $\Delta$ la densité du fluide,

(A)

$\Delta dsd\theta d\varpi \left[s^{2}\sin \theta \left(1+\alpha {\frac {\partial r}{\partial s}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial \theta }}+\alpha {\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+\alpha u{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\right)+2\alpha rs\sin \theta \right]$

Dans l’instant suivant, ce prisme se changera dans un solide d’une autre figure ; mais il est aisé de s’assurer que, si l’on détermine la masse de ce nouveau solide, comme s’il était un prisme rectangle, on ne se trompera que de quantités infiniment petites du second ordre par rapport à celles que l’on considère ; on peut donc, en négligeant ces quantités, supposer nulle la différentielle de la quantité (A), prise en ne faisant varier que le temps $t\,;$ d’où l’on tire, en intégrant par rapport à $t,$

$dsd\theta d\varpi \left[s^{2}\sin \theta \left(1+\alpha {\frac {\partial r}{\partial s}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial \theta }}+\alpha {\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+\alpha u{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\right)+2\alpha rs\sin \theta \right]$

$=\varphi (s,\varpi ,\theta )dsd\theta d\varpi .$

$\varphi (s,\varpi ,\theta )$ étant une fonction de $s,\varpi ,$ et $\theta$ sans $t\,;$ or on a à l’origine du