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l’expression de $^{n-1}\!z_{x},$ on change $^{n-1}\!u_{x}$ en $^{n-2}\!u_{x}$ et $^{n-2}\!u_{x}$ en $^{n-1}\!u_{x},$ on formera $^{n-2}\!z_{x}\,;$ si, dans la même expression de $^{n-1}\!z_{x},$ on change $^{n-1}\!u_{x}$ en $^{n-3}\!u_{x},$ et réciproquement $^{n-3}\!u_{x}$ en $^{n-1}\!u_{x},$ on formera $^{n-3}\!z_{x},$ et ainsi de suite ; l’intégrale complète de l’équation

(B)

$y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n}+\mathrm {X} _{x}$

sera

$(\Pi )\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}y_{x}=&u_{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{z_{x+1}}}\right)\\+&^{1}\!u_{x}\left(^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{^{1}\!z_{x+1}}}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&^{n-1}\!u_{x}\left(^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{^{n-1}\!z_{x+1}}}\right).\end{aligned}}\right.$

VIII.

Je reprends maintenant les équations (>) de l’Article précédent ; elles donnent

${\begin{aligned}^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+2}}{^{n-1}\!z_{x+2}}}=&\gamma _{x+1}y_{x+1}\ \ +\ldots +^{n-1}\!\gamma _{x+1}y_{x-n+2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+2}}{z_{x+2}}}\quad =&{\frac {\gamma _{x+1}}{n-1}}y_{x+1}+\ldots +{\frac {^{n-1}\!\gamma _{x+1}}{n-1}}y_{x-n+2}\,;\end{aligned}}$

si l’on multiplie la première par $^{n-1}\!u_{x},$ la seconde par $^{n-2}\!u_{x},\ldots ,$ on aura, en les ajoutant ensemble, une équation de cette forme

$\lambda _{x}y_{x+1}+^{1}\!\lambda _{x}y_{x+2}+\ldots +^{n-1}\!\lambda _{x}y_{x-n+2}=\mathrm {A} u_{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!u_{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!u_{x}\,;$

donc

$\lambda _{x}y_{x+1}+^{1}\!\lambda _{x}y_{x+2}+\ldots +^{n-1}\!\lambda _{x}y_{x-n+2}=y_{x},$

équation qui doit être identique ; partant,

${\begin{aligned}y_{x}=&u_{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+2}}{z_{x+2}}}\right)\\+&^{1}\!u_{x}\left(^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+2}}{^{1}\!z_{x+2}}}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$