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il faut donc ramener l’équation (O) à cette forme ; pour cela, je divise l’équation (O) par $u_{x},$ et j’en conclus, en la différenciant,

$\Delta {\frac {y_{x-1}}{u_{x-1}}}=\Delta {\frac {^{1}\!u_{x-1}}{u_{x-1}}}\left\{^{1}\!\mathrm {A} +\sum \Delta {\frac {^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x}}{{\overset {1}{u}}_{x}}}\right.$

$\times \left.\left[^{2}\!\mathrm {A} \ldots +\sum \Delta {\frac {^{1}\!{\overset {n-2}{u}}_{x+n-3}}{{\overset {n-2}{u}}_{x+n-3}}}\left(^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+n-1}}{{\overset {n-1}{u}}_{x+n-1}}}\right)\ldots \right]\right\},$

d’où l’on conclura, en divisant par $\Delta {\frac {^{1}\!u_{x-1}}{u_{x-1}}}$ et différenciant.

$\Delta {\frac {\Delta {\cfrac {y_{x-2}}{u_{x-2}}}}{\Delta {\cfrac {^{1}\!u_{x-2}}{u_{x-2}}}}}=\Delta {\frac {^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}}\left[^{2}\!\mathrm {A} +\ldots \right].$

On aura donc, en continuant de différentier ainsi, une équation de cette forme

$^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x-1}}{{\overset {n-1}{u}}_{x-1}}}=\gamma _{x}\gamma _{x}+^{1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-1}+^{2}\!\gamma _{x}\gamma _{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-n+1},$

$\gamma _{x},^{1}\!\gamma _{x},\ldots$ étant des fonctions de $u_{x},^{1}\!u_{x},\ldots$ et de leurs différences finies. J’observe maintenant que, pour former les valeurs de ${\overset {1}{u}}_{x},{\overset {2}{u}}_{x},{\overset {3}{u}}_{x},\ldots ,$ j’ai considéré (Article précédent) les quantités $u_{x},^{1}\!u_{x},^{2}\!u_{x},\ldots$ dans cet ordre

$u_{x},\quad ^{1}\!u_{x},\quad ^{2}\!u_{x},\quad \ldots ,\quad ^{n-1}\!u_{x}\,;$

mais si, au lieu de cela, je les eusse considérées dans l’ordre suivant

$^{1}\!u_{x},\quad u_{x},\quad ^{2}\!u_{x},\quad \ldots ,\quad ^{n-1}\!u_{x},$

je serais parvenu à l’équation suivante

$^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x-1}}{\left({\overset {n-1}{u}}_{x-1}\right)}}=\left(\gamma _{x}\right)\gamma _{x}+\left(^{1}\!\gamma _{x}\right)\gamma _{x-1}+\ldots +\left(^{n-1}\!\gamma _{x}\right)\gamma _{x-n+1},$

$\left({\overset {n-1}{u}}_{x}\right),\left(\gamma _{x}\right),\ldots$ étant ce que deviennent ${\overset {n-1}{u}}_{x},\gamma _{x},\ldots$ lorsqu’on y change $u_{x}$ en $^{1}\!u_{x},$ et $^{1}\!u_{x}$ en $u_{x}.$ Si j’avais supposé $\mathrm {X} _{x+1}=0,$ je serais parvenu