connaîtra
jusqu’à
exclusivement. Pour déterminer
il faut intégrer l’équation
![{\displaystyle ^{n-2}\!\mathrm {T} _{x}=\mathrm {S} _{x}\,^{n-2}\mathrm {T} _{x-1}+\mathrm {X} _{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee133cb52a70ce3d40e3f367ffcf5cfa4dc3b4c8)
en supposant
ce qui serait facile par le Problème I si l’on connaissait
Pour le trouver, j’observe que, dans l’équation (D’), le coefficient de
est
![{\displaystyle \mathrm {H} _{x}-\delta _{x}=\mathrm {H} _{x}-{\frac {u_{x}}{u_{x-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1484a85eddaa7105b6eacc1d4dd6d07d62c37df)
à cause de
![{\displaystyle \delta _{x}={\frac {u_{x}}{u_{x-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d39c9530c00d605360e53d90a60165badaca534f)
Pareillement celui de
dans l’équation (D"), est
![{\displaystyle \mathrm {H} _{x}-{\frac {u_{x}}{u_{x-1}}}-{\frac {{\overset {1}{u}}_{x}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae1272bb0fa77525ced5fe4275f2657ffad63ba)
et ainsi de suite ; partant,
![{\displaystyle \mathrm {S} _{x}=\mathrm {H} _{x}-{\frac {u_{x}}{u_{x-1}}}-{\frac {{\overset {1}{u}}_{x}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}}-\ldots -{\frac {{\overset {n-2}{u}}_{x}}{{\overset {n-2}{u}}_{x-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b14c56d78fb58fbc2929f7a092607872697812f)
Si, au lieu de connaître l’intégrale de l’équation
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba7ab1e78375adae8dc61d90dc5f72a883e67d5)
on connaissait un nombre
ou
de valeurs pour
dans l’équation (E), les formules précédentes serviraient également, car,
étant ces valeurs, on a
![{\displaystyle u_{x}=\nabla \delta _{x},\qquad ^{1}\!u_{x}=\nabla ^{1}\!\delta _{x},\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf714924661d5f9507b6e17f7f8405cf9ad2e609)
VII.
La formule (O) n’a point encore tout le degré de simplicité que peut avoir l’intégrale complète de
car on a vu (Art. IV) que cette intégrale a la forme suivante
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {A} u_{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!u_{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!u_{x}+\mathrm {L} _{x}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf97f6e7b9dba0131c49150587cb3d3f83a0f24b)