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$\mathrm {T} _{x}$ en $^{1}\!\mathrm {T} _{x},$ celle de $^{1}\!\mathrm {T} _{x}$ en $^{2}\!\mathrm {T} _{x},$ etc., on aura

$(\mathrm {K} )\quad y_{x}=u_{x}\left\{\mathrm {A} +\sum {\frac {{\overset {1}{u}}_{x+1}}{u_{x+1}}}\left\langle ^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {{\overset {2}{u}}_{x+2}}{{\overset {1}{u}}_{x+2}}}\right.\right.$

$\times \left.\left.\left[^{2}\!\mathrm {A} \ldots +\sum {\frac {{\overset {n-1}{u}}_{x+n-1}}{{\overset {n-2}{u}}_{x+n-1}}}\left(^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+n}}{{\overset {n-1}{u}}_{x+n}}}\right)\ldots \right]\right\rangle \right\}.$

Il faut présentement déterminer ${\overset {1}{u}}_{x},{\overset {2}{u}}_{x},\ldots \,;$ or on a, par l’Article précédent,

${\overset {1}{u}}_{x}=\mathrm {R} _{x}=u_{x}\Delta {\frac {{\overset {1}{u}}_{x-1}}{u_{x-1}}},$

pareillement

${\begin{aligned}^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x}=&u_{x}\Delta {\frac {{\overset {2}{u}}_{x-1}}{u_{x-1}}},\\^{2}\!{\overset {1}{u}}_{x}=&u_{x}\Delta {\frac {{\overset {3}{u}}_{x-1}}{u_{x-1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

on aura de même

${\begin{aligned}{\overset {2}{u}}_{x}=&{\overset {1}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},\\^{1}\!{\overset {2}{u}}_{x}=&{\overset {1}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{2}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},\\^{2}\!{\overset {2}{u}}_{x}=&{\overset {1}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{3}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

la formule (K) deviendra

$(\mathrm {O} )\quad y_{x}=u_{x}\left\{\mathrm {A} +\sum \Delta {\frac {{\overset {1}{u}}_{x}}{u_{x}}}\left\langle ^{1}\!\mathrm {A} +\sum \Delta {\frac {^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x+1}}{{\overset {1}{u}}_{x+1}}}\right.\right.$

$\times \left.\left.\left[^{2}\!\mathrm {A} \ldots +\sum \Delta {\frac {^{1}\!{\overset {n-2}{u}}_{x+n-2}}{{\overset {n-2}{u}}_{x+n-2}}}\left(^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+n}}{{\overset {n-1}{u}}_{x+n}}}\right)\ldots \right]\right\rangle \right\}\,;$

si l’on ne connaissait que le nombre $n-1$ d’intégrales particulières de $y_{x},$ dans l’équation

$y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n},$

l’intégration n’aurait pas plus de difficulté ; je suppose que ce soit l’intégrale $^{n-1}\!u_{x}$ qui soit inconnue ; puisque l’on connaît $u_{x},^{1}\!u_{x},\ldots ^{n-2}u_{x},$ on