tibles, satisfait pour
dans une équation différentielle de l’ordre
entre
et
est l’expression complète de
Par constantes irréductibles, j’entends qu’elles sont telles que deux ou plusieurs ne peuvent se réduire à une seule ; il suit de là que, si une fonction renfermant
constantes arbitraires irréductibles satisfait pour
dans une équation différentielle de l’ordre
cette équation est sûrement identique ; car, si elle ne l’était pas, la fonction la plus générale de
qui pût y satisfaire pour
ne renfermerait que
constantes arbitraires irréductibles.
Pour la commodité du calcul, je supposerai que les quantités notées de cette manière,
ou
expriment des quantités différentes et qui peuvent n’avoir aucun rapport entre elles ; mais celles-ci,
ou
représentent les différents termes d’une suite formée suivant une loi quelconque, les nombres
désignant le rang des
ou des
dans la suite. Cela posé, puisque l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y_{x}\ \ =&y_{x+1}-y_{x},\\\Delta ^{2}y_{x}=&y_{x+2}-2y_{x+1}+y_{x},\\\Delta ^{3}y_{x}=&y_{x+3}-3y_{x+2}+3y_{x+1}-y_{x},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de707616cdd9b2dca1a224a315b97c0241f9922e)
je puis donner à l’équation (A) cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{x}=&+y_{x}\left(\mathrm {M} _{x}-\mathrm {N} _{x}+\mathrm {P} _{x}-\ldots \right)\\&+y_{x+1}\left(\mathrm {N} _{x}-2\mathrm {P} _{x}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+y_{x+n}\mathrm {S} _{x},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b128c750919d7dda1f565afc40d340c0d33cfd8)
d’où il résulte que toute équation linéaire aux différences finies peut être généralement représentée par celle-ci
(B)
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l’équation
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+\mathrm {X} _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53852a0d737da772d46fb006a8cd37552338de88)