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puissances supérieures et entières des nombres naturels ; ils y sont parvenus d’abord par des méthodes indirectes : ils ne s’apercevaient pas que ce qu’ils cherchaient revenait à trouver une quantité dont la différence finie était connue ; mais sitôt qu’ils ont eu fait cette réflexion, ils ont résolu directement, non seulement les cas déjà connus, mais beaucoup d’autres plus étendus. En général, $\varphi (x)$ représentant une fonction quelconque de la variable $x,$ dont la différence finie est supposée constante, ils se sont proposé de trouver une quantité dont la différence finie soit égale à cette fonction, et c’est l’objet du Calcul intégral aux différences finies à une seule variable.

Pareillement, la recherche du terme général d’une progression géométrique revient à trouver le $x$^ième terme d’une suite telle que chaque terme soit à celui qui le précède en raison constante. Soient $y_{x-1}$ le $(x-1)$^ième terme et $y_{x}$ le $x$^ième terme : la loi de la suite exige que l’on ait $y_{x}=py_{x-1},$ quel que soit $x,\ p$ étant constant. Or il est clair que, de quelque manière que l’on soit parvenu à trouver $y_{x},$ on a véritablement intégré l’équation aux différences finies $y_{x}=py_{x-1}.$ Ensuite, on a généralisé cette recherche en se proposant de trouver le terme général des suites telles que chacun de leurs termes soit égal à plusieurs des précédents multipliés par des constantes quelconques ; ces suites ont été nommées pour cela récurrentes. On est parvenu d’abord à trouver leur terme général par des voies indirectes, quoique fort ingénieuses ; on ne s’apercevait pas que cela revenait à intégrer une équation linéaire aux différences finies ; mais, lorsqu’on eut fait cette réflexion, on essaya d’appliquer à ces équations les méthodes connues pour les équations linéaires aux différences infiniment petites, avec les modifications qu’exige la supposition des différences finies, et l’on résolut de cette manière des cas beaucoup plus étendus que ceux qui l’étaient déjà.

M. Moivre est, je crois, le premier qui ait déterminé le terme général des suites récurrentes ; mais M. de Lagrange est le premier qui se soit aperçu que cette recherche dépend de l’intégration d’une équation linéaire aux différences finies, et qui y ait appliqué la belle méthode des coefficients indéterminés de M. d’Alembert (voir le Vol. I des