or la plus grande valeur que puisse avoir
dans ce cas est
On aura donc, pour l’intégrale complète qui convient à
négatif,
![{\displaystyle \left(a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\right){\frac {1}{q}}-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a\left({\frac {1}{3q^{3}}}-{\frac {1}{2}}\varpi '{\frac {1}{q^{2}}}+\varpi '^{2}{\frac {1}{q}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1368dd7b25e4df7e56b3405618c981cf626af1ef)
Si l’on ajoute cette intégrale à la précédente, il est visible que leur somme exprimera la somme de toutes les espérances de
qui conviennent à cette valeur de
et conséquemment à toutes les variations de
depuis
jusqu’à
cette somme sera
![{\displaystyle \left(a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\right)\left({\frac {2}{q}}-\varpi '\right)-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a857e464e4ad20fe2f3feb0e8bb3051ea4f14539)
![{\displaystyle \times \left[{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{q}}-\varpi '\right)^{3}+{\frac {1}{3q^{3}}}+{\frac {\varpi '^{2}}{2}}\left({\frac {2}{q}}-\varpi '\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a223b40162dd1f3fa9153238705b86227ecc6ac)
Si l’on multiplie cette quantité par
et que l’on intègre, on aura
![{\displaystyle \left(a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\right)\left({\frac {2}{q}}\varpi '-\varpi '^{2}\right)-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bace69ac2993a2bbecde2a22279211df37ebe64c)
![{\displaystyle \times \left[{\frac {1}{12q^{4}}}-{\frac {1}{12}}\left({\frac {1}{q}}-\varpi '\right)^{4}+{\frac {\varpi '^{3}}{3q}}-{\frac {1}{8}}\varpi '^{4}+{\frac {\varpi '}{3q^{3}}}\right]+\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecced4db9dff671232470f5b890bd1d6bf7037a)
et, faisant commencer l’intégrale au point où
et la supposant finir lorsque
cette intégrale devient
![{\displaystyle \left(a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\right){\frac {3}{2qq}}-{\frac {n(n-1)}{1.2}}a{\frac {5.2^{n-4}}{3^{n+1}q^{4}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8caa855e9a6a62d14c282fb0c9695dced59d0bb5)
cette quantité exprime la somme totale des espérances de
qui conviennent à toutes les variations possibles de
positif ; et, pour avoir l’espérance qui en résulte pour
il est visible qu’il faut diviser cette somme par le nombre total des variations qui conviennent à
positif. Or le nombre de toutes les variations qui conviennent à
est, par ce qui précède,
multipliant par
et intégrant, on trouve
pour le diviseur de la quantité précédente. Ainsi l’espérance de
qui convient à
positif, est
![{\displaystyle a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-3}}{3^{n+2}}}{\frac {5a}{q^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a075f348f1f51960f3a8b87089f58a990b621a)
Or l’espérance qui convient à
négatif est visiblement la même ; de