Ce problème présente quelques difficultés et exige des considérations particulières, en ce que les quantités
dépendent mutuellement les unes des autres, ce qui rend les différentes valeurs qu’on peut leur donner plus ou moins probables ; pour simplifier le calcul, au lieu du dé, j’imagine un prisme triangulaire qui ne puisse retomber que sur ses trois faces rectangulaires ; cela posé, en supposant
fort petit et
peu considérable, l’espérance de
est
![{\displaystyle a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-2}}{3^{n+1}}}a\left(\varpi ^{2}+\varpi '^{2}+\varpi ''^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9d99d3e4fc8758ca303a6d2029bf4f7adf16f8)
présentement, puisque l’on a
on aura
donc l’espérance de
est
![{\displaystyle a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a\left(\varpi ^{2}+\varpi \varpi '+\varpi '^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4527dc675ac334ff90405823dbe1a3ff3fe62e27)
je suppose d’abord
positif et constant, et je cherche dans cette supposition l’espérance de
Pour cela, je multiplie la quantité précédente par
ce qui donne, après avoir intégré,
![{\displaystyle a\varpi -{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\varpi -{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a\left({\frac {1}{3}}\varpi ^{3}+{\frac {\varpi '\varpi ^{2}}{2}}+\varpi '^{2}\varpi \right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24aec034c9b2c23cf220b7899d531195e788ba3a)
Or la plus grande valeur positive que puisse avoir
est
ainsi, en supposant l’intégrale nulle lorsque
on aura
et l’intégrale qui convient à
positif est
![{\displaystyle \left(a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\right)\left({\frac {1}{q}}-\varpi '\right)-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba10e67e2d5e5f4dcf155ccebb94526857d51757)
![{\displaystyle \times \left[{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{q}}-\varpi '\right)^{3}+{\frac {\varpi '}{2}}\left({\frac {1}{q}}-\varpi '\right)^{2}+\varpi '^{2}\left({\frac {1}{q}}-\varpi '\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82e10bd49a80a8d45538a6ba41ddf66604cbc16)
Pour avoir l’intégrale qui convient à
négatif, je fais
négatif dans la valeur donnée ci-dessus de l’espérance de
laquelle devient alors
![{\displaystyle a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a\left(\varpi ^{2}+\varpi '\varpi +\varpi '^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482ef48344f062b0ba531bc2fa6a2127d2406f33)
Si l’on multiplie cette quantité par
et que l’on intègre, on aura
![{\displaystyle \left(a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\right)\varpi -{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a\left({\frac {1}{3}}\varpi ^{3}-{\frac {1}{2}}\varpi '\varpi ^{2}+\varpi '^{2}\varpi \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff93a452b77772123488f190b292dc41edf0ee0)