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trouver, et particulièrement sur les dés que l’on nomme dés anglais ; examinons présentement les changements que ces inégalités doivent apporter dans la solution des Problèmes sur le jeu des dés.

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ jouent ensemble, à cette condition que si $\mathrm {A}$ amène dans un nombre $n$ de coups une face donnée d’un dé, $\mathrm {B}$ lui donnera la somme $a\,;$ on demande ce que $\mathrm {A}$ doit donner à $\mathrm {B} .$

Par la théorie des hasards, on trouve que l’espérance de $\mathrm {A}$ est $a-{\frac {5^{n}}{6^{n}}}a,$ et c’est la somme qu’il doit donner à $\mathrm {B} \,;$ cette solution suppose toutes les faces du dé parfaitement égales, ce qui n’est vrai que mathématiquement parlant.

Soient ${\frac {1+\varpi }{6}}$ la probabilité qu’une des faces du dé (on ignore laquelle) a pour être amenée au premier coup ; ${\frac {1+\varpi '}{6}},{\frac {1+\varpi ''}{6}},\ldots ,{\frac {1+\varpi ^{\mathrm {v} }}{6}}$ celles que les autres ont pour être amenées pareillement au premier coup ; on aura

${\frac {1+\varpi }{6}}+{\frac {1+\varpi '}{6}}+\ldots +{\frac {1+\varpi ^{\mathrm {v} }}{6}}=1,$

partant

$\varpi +\varpi '+\varpi ''+\ldots +\varpi ^{\mathrm {v} }=0.$

Or, si l’on suppose que la face donnée du dé ait la probabilité ${\frac {1+\varpi }{6}}$ pour être amenée dans un seul coup, la probabilité qu’elle n’arrivera pas dans un nombre $n$ de coups sera

${\frac {\left(5+\varpi '+\varpi ''+\ldots +\varpi ^{\mathrm {v} }\right)^{n}}{6^{n}}}={\frac {(5-\varpi )^{n}}{6^{n}}}\,;$

l’espérance de $\mathrm {A}$ est donc alors

$a\left[1-{\frac {(5-\varpi )^{n}}{6^{n}}}\right].$

Pareillement, si la probabilité qu’a la face donnée pour être amenée au premier coup est ${\frac {1+\varpi '}{6^{n}}},$ on aura, pour l’espérance de $\mathrm {A}$,

$a\left[1-{\frac {(5-\varpi ')^{n}}{6^{n}}}\right],$