en donnera quatre s’il ne l’amène qu’au second, huit s’il ne l’amène qu’au troisième, et ainsi de suite jusqu’au nombre de coups.
Il est facile de déterminer l’espérance de ou la somme qu’il doit donner à avant que de commencer le jeu ; car en nommant cette somme, si l’on suppose que le nombre des coups, au lieu d’être vienne à augmenter d’une unité, il est visible que l’espérance de sera augmentée du nombre d’écus, multiplié par la probabilité de l’obtenir au coup On aura donc
d’où l’on tire, en intégrant,
étant une constante arbitraire ; or, posant donc Ainsi doit donner à le nombre d’écus.
Nous supposons dans cette solution que la pièce qui, jetée en l’air, doit amener croix ou pile, n’a pas plus de pente pour amener l’un plutôt que l’autre ; or cette supposition n’est admissible que mathématiquement, car physiquement il doit y avoir une inégalité ; mais, comme les deux joueurs et ignorent en commençant le jeu de quel côté est cette plus grande pente, on pourrait croire que cette incertitude n’augmente et ne diminue point leur avantage. On va voir cependant que rien n’est moins fondé que cette supposition ; d’où il résultera que la science des hasards exige d’être employée avec précaution, et demande à être modifiée lorsqu’on passe du cas mathématique au physique.
Examinons ce qui résulte de la supposition que la pièce à une plus grande pente à tomber d’un côté que de l’autre ; soit la probabilité qu’en jetant la pièce en l’air croix ou pile (on ignore lequel des deux) arrivera. Supposons d’abord que la probabilité pour croix soit l’espérance de sera dans cette supposition égale à
![{\displaystyle (1+\varpi )\left[1+(1-\varpi )+(1-\varpi )^{2}+\ldots +(1-\varpi )^{x-1}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494bb71ebae61f7d30f3ae87822b8f43b0389ec1)
![{\displaystyle ={\frac {(1+\varpi )\left[(1-\varpi )^{x}-1\right]}{-\varpi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb17b4144c8d8922ca1bdc9929b96b296feeb526)
