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Supposons présentement que l’expression de $y$ ait un dénominateur et que l’on ait

$y={\frac {ax^{\mu }+a'x^{\mu '}+a''x^{\mu ''}+\ldots }{bx^{r}+b'x^{r'}+b''x^{r''}+\ldots }}\,;$

soit $\mu$ le plus grand des exposants $\mu ,\mu ',\ldots$ et $r$ le plus grand des exposants $r,r',r'',\ldots ,$ on aura, en divisant le numérateur et le dénominateur de l’expression de $y$ par $x^{r},$

$y={\frac {ax^{\mu -r}+a''x^{\mu '-r}+\ldots }{b+b'x^{r'-r}+\ldots }}.$

En réduisant le dénominateur en série, on aura pour $y$ une suite infinie de cette forme

${\frac {a}{b}}x^{\mu -r}+hx^{l}+h'x^{l'}+\ldots ,$

les exposants $\mu -r,l,l',\ldots$ allant toujours en décroissant ; or, si l’on substitue, au lieu de $y,$ cette valeur dans l’équation (E) de l’article VI, en supposant $f=0,$ on prouvera, comme ci-dessus, que $\mu -r$ doit être égal à zéro ou à l’unité ou à $-{\frac {1}{2}}.$ Si $\mu -r=-{\frac {1}{2}},$ on aura $r=\mu +{\frac {1}{2}}\,;$ donc

$y={\frac {ax^{\mu }+a'x^{\mu '}+\ldots }{bx^{\mu +{\frac {1}{2}}}+b'x^{r'}+\ldots }}\,;$

or, en faisant $x$ négatif, $x^{\mu }$ est réel ou imaginaire ; dans le premier cas, le dénominateur de l’expression de $y,$ et dans le second cas, son numérateur devient imaginaire ; on doit donc rejeter l’équation $\mu -r=-{\frac {1}{2}}.$

Si $\mu -r$ est égal à zéro, on a l’unité ; en divisant le numérateur de l’expression de $y$ par son dénominateur, on pourra la mettre sous cette forme

$y=hx+h'+{\frac {cx^{i}+c'^{i'}+\ldots }{bx^{r}+b'^{r'}+\ldots }},$

$i$ ne surpassant $r$ ni de zéro ni de l’unité, et puisque cette valeur de $y$ satisfait à l’équation (E), en supposant $f=0,$ celle-ci

$y={\frac {cx^{i}+c'^{i'}+\ldots }{bx^{r}+b'^{r'}+\ldots }}$