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l’équation (T) donne alors $\mu =-{\frac {1}{2}}\,;$ mais cette valeur de $\mu$ doit être rejetée, parce que le terme $ax^{\mu }$ deviendrait imaginaire lorsque $x$ serait négatif, et que d’ailleurs, $\mu$ étant le plus grand des exposants $\mu ,\mu ',\ldots ,$ ldots, la valeur de $y$ serait infinie lorsque $x$ serait nul.

2^o La valeur de $\mu$ peut être telle que l’on ait $(-1)^{2\mu +1}=-1,$ l’équation (T) donne dans ce cas $\mu =1.$

3^o Enfin, on peut supposer que $(-1)^{2\mu +1}$ est imaginaire ; mais alors l’équation (T) donnerait pour $\mu ,$ une valeur imaginaire, ce qui est contre l’hypothèse dont nous sommes partis.

Il suit de là que l’expression de $y$ ne peut avoir que cette forme

$y=ax+a'+a''x^{\mu ''}+a'''x^{\mu '''}+\ldots ,$

$\mu '',\mu ''',\ldots$ étant moindres que l’unité et différents de zéro ; or, en substituant cette valeur dans l’équation (E) de l’article VI, et supposant $f=0,$ il est visible que, si l’expression précédente de $y$ y satisfait, celle-ci

$y=a''x^{\mu ''}+a'''x^{\mu '''}+\ldots$

y satisfera pareillement, puisque l’équation (E) ne renferme point $y$ ni sa première différence ; or il faut pour cela, comme on vient de le voir, que le plus grand des exposants $\mu '',\mu ''',\ldots$ soit zéro ou l’unité, ce qui n’est pas ; donc, si l’équation

$y=ax^{\mu }+a'x^{\mu '}+\ldots$

est possible, elle ne peut avoir que cette forme

$y=ax+a'\,;$

maintenant on a $y=0$ lorsque $x=1$ et lorsque $x=-1,$ d’où l’on tire $a=0$ et $a'=0\,;$ partant $y=0,$ ce qui montre que le sphéroïde est une sphère.

Je dois observer ici que M. d’Alembert a déjà fait la même remarque pour le cas où les exposants $\mu ,\mu ',\ldots$ sont des nombres entiers positifs (voir le tome V des Opuscules de ce grand géomètre).