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Démonstration. – Je suppose d’abord que le dénominateur de cette expression se réduise à l’unité et que l’on ait

$y=ax^{\mu }+a'x^{\mu '}+a''x^{\mu ''}+\ldots \,;$

soit $\mu$ le plus grand des exposants $\mu ,\mu ',\mu '',\ldots \,;$ en substituant dans l’équation (D) de l’article VI, au lieu de $y,$ l’expression précédente, et supposant $f=0,$ le terme $ax^{\mu }$ en donnera un de cette forme

${\begin{aligned}\mu ax^{\mu -1}\int dp\sin p\cos ^{2}p&\left[(\mu -1)\sin ^{2}p-{\frac {(\mu -1)(\mu -2)}{1.2}}\sin ^{4}p\right.\\&\left.+{\frac {(\mu -1)(\mu -2)(\mu -3)}{1.2.3}}\sin ^{6}p-\ldots \right],\end{aligned}}$

et comme ce terme est le plus élevé par rapport à $x,$ il doit être séparément égal à zéro, ce qui donne

$0=\mu \int dp\sin p\cos ^{2}p\left[(\mu -1)\sin ^{2}p-{\frac {(\mu -1)(\mu -2)}{1.2}}\sin ^{4}p+\ldots \right]\,;$

or on a

$(\mu -1)\sin ^{2}p-{\frac {(\mu -1)(\mu -2)}{1.2}}\sin ^{4}p+\ldots$

$=1-\left(1-\sin ^{2}p\right)^{\mu -1}=1-\cos ^{2\mu -2}p\,;$

donc

$0=\mu \int dp\sin p\cos ^{2}p-\mu \int dp\sin p\cos ^{2\mu }p,$

d’où l’on tire, en intégrant.

$0=\mu \left(\mathrm {C} +{\frac {1}{2\mu +1}}\cos ^{2\mu +1}p-{\frac {1}{2}}\cos ^{3}p\right).$

Il faut déterminer la constante arbitraire $\mathrm {C}$ de manière que l’intégrale soit nulle lorsque $\cos p=1,$ et faire ensuite $\cos p=-1\,;$ l’équation précédente devient ainsi

(T)

$0=\mu \left[{\frac {2}{3}}(2\mu +1)-1+(-1)^{2\mu +1}\right]\,;$

l’équation (T) donne d’abord $\mu =0\,;$ il peut ensuite arriver trois cas :

1^o La valeur de $\mu$ peut être telle que l’on ait $(-1)^{2\mu +1}=1,$