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est égal à $1+{\frac {5}{4}}\alpha m$ et, par conséquent, que l’aplatissement de la masse est égal à ${\frac {5}{4}}\alpha m,$ ce que l’on sait d’ailleurs.

VIII.

Je suppose dans l’équation (E) de l’article VI

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2c+{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$

elle donnera

$-{\frac {f}{2\pi }}x={\frac {2^{3}}{3.5}}cx+{\frac {2^{2}}{3.5}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}x-{\frac {2^{3}}{3.5.7}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}\left(x^{2}+{\frac {1}{2}}\right)+\ldots \,;$

en faisant $c=-{\frac {15}{16}}{\frac {f}{\pi }},$ on aura

$0={\frac {2^{2}}{3.5}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}x-{\frac {2^{3}}{3.5.7}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}\left(x^{2}+{\frac {1}{2}}\right)+\ldots .$

Soit $z=\varphi (x)$ l’intégrale de cette équation ; on aura

$y=\varphi (x)+cx^{2}+bx+a\,;$

la supposition de $f=0$ donne $y=z=\varphi (x)\,;$ on voit ainsi que le mouvement de rotation du corps ne fait qu’ajouter à la valeur de $y$ la quantité $cx^{2}+bx+a\,;$ ainsi, toutes les figures de révolution dans lesquelles l’équilibre a lieu lorsque la masse est immobile ont également lieu lorsqu’elle tourne autour de son axe de révolution, pourvu qu’on ajoute à l’expression de $y\ cx^{2}+bx+a\,;$ mais, lorsque $f=0,$ existe-t-il d’autre cas d’équilibre que la figure sphérique ? Il paraît difficile de prononcer sur cet objet ; voici cependant un théorème fort général qui exclut un grand nombre de figures.

Théorème. – L’expression de $y$ ne peut avoir cette forme

$y={\frac {ax^{\mu }+a'x^{\mu '}+a''x^{\mu ''}+\ldots }{bx^{r}+b'x^{r'}+b''x^{r''}+\ldots }},$

$\mu ,\mu ',\mu '',\ldots ,r,r',r'',\ldots$ étant des nombres quelconques réels.