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trouvée dans l’article III, on aura

$\iint 2dpdq\sin p\cos ^{2}p\varphi '\left[\cos \theta -\sin ^{2}p\cos \theta +\sin ^{2}p\cos(\theta -2q)\right]$

$-{\frac {4}{3}}\pi \varphi '(\cos \theta )=f\cos \theta \,;$

soient

$\cos \theta =x\qquad$et$\qquad \varphi (cos\theta )=y,$

on aura

$\varphi '(\cos \theta )={\frac {dy}{dx}}\,;$

de plus, on a, par la théorie des suites,

${\begin{aligned}\varphi '&\left[\cos \varphi -\sin ^{2}p\cos \theta +\sin ^{2}p\cos(\theta -2q)\right]\\=&{\frac {dy}{dx}}-\sin ^{2}p[\cos \theta -\cos(\theta -2q)]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\\&+\sin ^{4}p[\cos \theta -\cos(\theta -2q)]^{2}{\frac {d^{3}y}{1.2dx^{3}}}\\&-\sin ^{6}p[\cos \theta -\cos(\theta -2q)]^{3}{\frac {d^{4}y}{1.2.3dx^{4}}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

L’équation précédente deviendra donc

(C)

$-{\frac {1}{2}}fx=\iint dpdq\sin ^{3}p\cos ^{2}p\left\{{\begin{aligned}&{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}[\cos \theta -\cos(\theta -2q)]\\-&{\frac {d^{3}y}{1.2dx^{3}}}\sin ^{2}p[\cos \theta -\cos(\theta -2q)]^{2}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

en observant que $\iint dpdq\sin p\cos ^{2}p={\frac {4}{3}}\pi \,;$ or on a : 1^o

${\begin{aligned}\left[\cos \theta -\cos(\theta -2q)\right]^{r}=&\cos ^{r}\theta -r\cos ^{r-1}\theta \cos(\theta -2q)\\&+{\frac {r(r-1)}{1.2}}\cos ^{r-2}\theta \cos(\theta -2q)^{2}-\ldots \,;\end{aligned}}$

2^o si l’on fait

$\cos(\theta -2q)^{i}=\mathrm {A+B} \cos(\theta -2q)+\mathrm {C} \cos 2(\theta -2q)+\ldots ,$

on a, comme l’on sait, $\mathrm {A} =0$ lorsque $i$ est impair, et $\mathrm {A} ={\frac {1.3.5\ldots (i-1)}{2.4.6\ldots i}}$ lorsque $i$ est pair ; 3^o en intégrant depuis $q=0$ jusqu’à $q=180^{\circ },$