Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/504

sphère, l’angle $\mathrm {OMV}$ est de l’ordre $\alpha .$ De plus, en faisant toujours $\mathrm {MC} =h,$ on a

$\cos \mathrm {VMC} ={\frac {dh}{hd\theta }}=-\alpha \sin \theta \varphi '(\cos \theta ),$

en substituant au lieu de $h,\ 1+\alpha \varphi (\cos \theta ),$ et négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2}\,;$ or la force $\mathrm {A}$ dirigée suivant $\mathrm {MC}$ donne, suivant $\mathrm {MV} ,$ une force égale à $\mathrm {A\cos VMC} \,;$ l’action entière du sphéroïde produira donc suivant $\mathrm {MV}$ une force égale à $\alpha \mathrm {B} -\alpha \mathrm {A} \sin \theta \varphi '(\cos \theta )\,;$ donc, en substituant au lieu de $\mathrm {A}$ sa valeur trouvée dans l’article précédent, et négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ on aura

$\alpha \mathrm {B} -{\frac {4}{3}}\pi \alpha \sin \theta \varphi '(\cos \theta )$

pour cette force.

Soit maintenant $\alpha f$ la force centrifuge à l’équateur du sphéroïde, c’est-à-dire lorsque $\theta =90^{\circ },$ cette force au point $\mathrm {M}$ sera $\alpha f\sin \theta ,$ et elle donnera, suivant la tangente $\mathrm {MV} ,$ une force égale à $-\alpha f\sin \theta \cos \theta \,;$ je lui donne le signe $-,$ parce qu’elle agit de $\mathrm {M}$ vers $\mathrm {V} '\,;$ donc la force dont le point $\mathrm {M}$ est animé suivant la tangente $\mathrm {MV}$ est

$\alpha \mathrm {B} -{\frac {4}{3}}\pi \alpha \sin \theta \varphi '(\cos \theta )-\alpha f\sin \theta \cos \theta ,$

et comme elle doit être nulle dans le cas de l’équilibre, on aura, pour déterminer la figure du sphéroïde homogène en équilibre, l’équation

(Z)

$\mathrm {B} -{\frac {4}{3}}\pi \sin \theta \varphi '(\cos \theta )=f\sin \theta \cos \theta \,;$

et l’on connaîtra par son moyen la loi de la variation des degrés de l’équateur aux pôles.

V.

Pour avoir la loi de la pesanteur, j’observe que la force centrifuge au point $\mathrm {M}$ donne, suivant $\mathrm {MC} ,$ une force égale à $-\alpha f\sin ^{2}\theta \,;$ ainsi, la force totale dont le point $\mathrm {M}$ est animé suivant $\mathrm {MC}$ est

$\mathrm {A} -\alpha f\sin ^{2}\theta \,;$

mais la pesanteur à ce point est la résultante de la force suivant $\mathrm {MC}$ et de la force suivant $\mathrm {MO}$ perpendiculaire à $\mathrm {MC} \,;$ or, cette dernière force