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partant,

$r=h\sin p\sin q\pm {\sqrt {\begin{aligned}&a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q\\+&2\alpha a^{2}\varphi \left[h\cos \theta +r\sin p\sin(\theta -q)\right]\end{aligned}}}$

ou

${\begin{aligned}r=h\sin p\sin q&\pm {\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}\\&\pm {\frac {\alpha a^{2}\varphi \left[h\cos \theta +r\sin p\sin(\theta -q)\right]}{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}}\end{aligned}}$

Il est aisé de voir que l’on aura $r',$ en prenant le radical en $+,$ et en substituant sous le signe $\varphi ,$ au lieu de $r,$ la valeur que l’on aurait en supposant $\alpha =0,$ et prenant le radical en $+,$ ce qui donne

$r'=h\sin p\sin q+{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}$

$+\alpha a^{2}{\frac {\varphi \left[h\cos \theta +\left(h\sin ^{2}p\sin q+\sin p{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}\right)\sin(\theta -q)\right]}{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}}\,;$

on trouvera pareillement

$r=h\sin p\sin q-{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}$

$-\alpha a^{2}{\frac {\varphi \left[h\cos \theta +\left(h\sin ^{2}p\sin q-\sin p{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}\right)\sin(\theta -q)\right]}{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}}.$

On aura ainsi, pour l’attraction du sphéroïde suivant $\mathrm {TC} ,$

$\iint dpdq(r'+r)\sin ^{2}p\sin q$

$=\iint 2hdpdq\sin ^{3}p\sin ^{2}q+\iint {\frac {\alpha a^{2}dpdq\sin ^{2}p\sin q}{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}&\varphi \left[h\cos \theta +\left(h\sin ^{2}p\sin q+\sin p{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}\right)\sin(\theta -q)\right]\\-&\varphi \left[h\cos \theta +\left(h\sin ^{2}p\sin q-\sin p{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}\right)\sin(\theta -q)\right]\end{aligned}}\right\}\,;$

et pour l’attraction suivant $\mathrm {TI} ,$

$\iint dpdq(r'+r)\sin ^{2}p\cos q$

$=\iint 2hdpdq\sin ^{3}p\sin q\cos q+\iint {\frac {\alpha a^{2}dpdq\sin ^{2}p\cos q}{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}&\varphi \left[h\cos \theta +\left(h\sin ^{2}p\sin q+\sin p{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}\right)\sin(\theta -q)\right]\\-&\varphi \left[h\cos \theta +\left(h\sin ^{2}p\sin q-\sin p{\sqrt {a^{2}-h^{2}+h^{2}\sin ^{2}p\sin ^{2}q}}\right)\sin(\theta -q)\right]\end{aligned}}\right\}.$